Katika siku kabla ya kukokotoa hesabu, wanafunzi na maprofesa walipaswa kuhesabu mizizi mraba kwa mikono. Njia kadhaa tofauti zimetengenezwa kushinda mchakato huu mgumu. Njia zingine hutoa makadirio mabaya na zingine hutoa thamani halisi. Ili kujifunza jinsi ya kupata mzizi wa nambari ukitumia shughuli rahisi tu, angalia Hatua ya 1 hapa chini ili uanze.
Hatua
Njia 1 ya 2: Kutumia Ukadiriaji Mkuu
Hatua ya 1. Gawanya nambari yako katika sababu kamili za mraba
Njia hii hutumia sababu za nambari kupata mzizi wa nambari (kulingana na nambari, jibu linaweza kuwa nambari halisi au ukaribu wa karibu). Sababu za nambari ni seti ya nambari zingine ambazo, zikiongezeka, hutoa idadi hiyo. Kwa mfano, unaweza kusema kuwa sababu za 8 ni 2 na 4 kwa sababu 2 × 4 = 8. Wakati huo huo, mraba kamili ni nambari kamili ambazo ni bidhaa ya nambari zingine. Kwa mfano, 25, 36, na 49 ni mraba kamili kwa sababu ni 5 mtawaliwa2, 62, na 72. Kama unavyodhani, sababu kamili za mraba ni sababu ambazo pia ni mraba kamili. Kuanza kupata mzizi wa mraba kupitia sababu kuu, kwanza jaribu kurahisisha nambari yako kwa sababu zake za mraba kamili.
- Wacha tutumie mfano. Tunataka kupata mzizi mraba wa 400 kwa mikono. Kuanza, tutagawanya nambari hiyo kwa sababu zake za mraba kamili. Kwa kuwa 400 ni nyingi ya 100, tunajua kwamba 400 hugawanyika na 25 - mraba kamili. Kwa mgawanyiko wa haraka wa vivuli, tunaona kwamba 400 imegawanywa na 25 sawa na 16. Kwa bahati mbaya, 16 pia ni mraba kamili. Kwa hivyo, sababu kamili za mraba 400 ni 25 na 16 kwa sababu 25 × 16 = 400.
- Tunaweza kuiandika kama: Sqrt (400) = Sqrt (25 × 16)
Hatua ya 2. Pata mzizi wa mraba wa sababu zako za mraba kamili
Mali ya kuzidisha ya mizizi ya mraba inasema kuwa kwa nambari yoyote a na b, Sqrt (a × b) = Sqrt (a) × Sqrt (b). Kwa sababu ya mali hii, sasa, tunaweza kupata mzizi wa mraba wa sababu zetu za mraba kamili na kuzizidisha kupata jibu letu.
-
Katika mfano wetu, tutapata mizizi ya mraba ya 25 na 16. Tazama hapa chini:
- Mzizi (25 × 16)
- Mzizi (25) × Mzizi (16)
-
5 × 4 =
Hatua ya 20.
Hatua ya 3. Ikiwa nambari yako haiwezi kusambazwa kikamilifu, rekebisha jibu lako kwa fomu rahisi
Katika maisha halisi, mara nyingi nambari unazohitaji kupata mzizi wa mraba wa nambari zisizopendeza na sababu dhahiri kamili za mraba kama 400. Katika visa hivi, inawezekana kwamba hatuwezi kupata jibu sahihi. Kama idadi nzima. Walakini, kwa kupata sababu nyingi kamili za mraba kama unaweza kupata, unaweza kupata jibu kwa njia ya mizizi ya mraba ambayo ni ndogo, rahisi, na rahisi kuhesabu. Ili kufanya hivyo, punguza nambari yako kwa mchanganyiko wa sababu kamili za mraba na sababu za mraba zisizo kamili, kisha urahisishe.
-
Wacha tutumie mizizi ya mraba 147 kama mfano. 147 sio bidhaa ya mraba mbili kamili, kwa hivyo hatuwezi kupata nambari kamili kama ilivyo hapo juu. Walakini, 147 ni zao la mraba moja kamili na nambari nyingine - 49 na 3. Tunaweza kutumia habari hii kuandika jibu letu kwa njia rahisi kama ifuatavyo:
- Mzizi (147)
- = Mzizi (49 × 3)
- = Sqrt (49) × Sqrt (3)
- = 7 × Mzizi (3)
Hatua ya 4. Ikiwa inahitajika, kadiria
Ukiwa na mzizi wako wa mraba katika fomu yake rahisi, kawaida ni rahisi kupata makadirio mabaya ya jibu la nambari kwa kubahatisha thamani ya mizizi iliyobaki ya mraba na kuizidisha. Njia moja ya kuongoza nadhani yako ni kutafuta mraba kamili ambao ni kubwa kuliko na chini ya idadi kwenye mizizi yako ya mraba. Utagundua kuwa thamani ya desimali ya nambari kwenye mzizi wako wa mraba iko kati ya nambari mbili, kwa hivyo unaweza kukisia thamani kati ya nambari mbili.
-
Wacha turudi kwa mfano wetu. kwa sababu 22 = 4 na 12 = 1, tunajua kuwa Mizizi (3) iko kati ya 1 na 2 - labda karibu na 2 kuliko 1. Tunakadiria 1, 7. 7 × 1, 7 = 11, 9. Ikiwa tunaangalia jibu letu kwenye kikokotoo, tunaweza kuona kwamba jibu letu liko karibu kabisa na jibu halisi ambalo ni 12, 13.
Hii inatumika pia kwa nambari kubwa. Kwa mfano, Mizizi (35) inaweza kukadiriwa kati ya 5 na 6 (labda karibu na 6). 52 = 25 na 62 = 36. 35 ni kati ya 25 na 36, kwa hivyo mzizi wa mraba lazima uwe kati ya 5 na 6. Kwa kuwa 35 ni moja tu chini ya 36, tunaweza kusema kwa ujasiri kwamba mzizi wa mraba ni chini kidogo ya 6. Kuangalia na kikokotoo tupe jibu ni karibu 5, 92 - tunasema kweli.
Hatua ya 5. Vinginevyo, punguza nambari yako kwa sababu zisizo za kawaida kama hatua yako ya kwanza
Kupata sababu za mraba kamili sio lazima ikiwa unaweza kuamua kwa urahisi sababu kuu za nambari (sababu ambazo pia ni nambari kuu). Andika nambari yako kwa sababu ya mambo yake ya kawaida. Kisha, pata jozi za nambari kuu zinazofanana na sababu zako. Unapopata sababu kuu mbili ambazo ni sawa, ondoa nambari hizi mbili kutoka kwenye mizizi ya mraba na uweke moja ya nambari hizi nje ya mzizi wa mraba.
-
Kwa mfano, tafuta mzizi wa mraba wa 45 ukitumia njia hii. Tunajua kwamba 45 × 5 na tunajua kuwa chini ya 9 = 3 × 3. Kwa hivyo, tunaweza kuandika mizizi yetu ya mraba kwa sababu ya mambo kama haya: Sqrt (3 × 3 × 5). Ondoa tatu zote mbili na uweke moja 3 nje ya mizizi ya mraba ili kurahisisha mizizi yako ya mraba kwa fomu yake rahisi: (3) Mzizi (5).
Kutoka hapa, tutakuwa rahisi kukadiria.
-
Kama shida ya mfano wa mwisho, wacha tujaribu kupata mzizi wa mraba wa 88:
- Mzizi (88)
- = Mzizi (2 × 44)
- = Mzizi (2 × 4 × 11)
- = Mzizi (2 × 2 × 2 × 11). Tuna 2 katika mizizi yetu ya mraba. Kwa kuwa 2 ni nambari kuu, tunaweza kuondoa jozi ya 2 na kuweka moja yao nje ya mzizi wa mraba.
-
= Mzizi wetu wa mraba katika fomu yake rahisi ni (2) Sqrt (2 × 11) au (2) Mzizi (2) Mzizi (11).
Kutoka hapa, tunaweza kukadiria Sqrt (2) na Sqrt (11) na kupata jibu takriban kama tunataka.
Njia ya 2 ya 2: Kupata Mzizi wa Mraba kwa mikono
Kutumia Algorithm ya Mgawanyiko Mrefu
Hatua ya 1. Tenga nambari za nambari yako kwa jozi
Njia hii hutumia mchakato sawa na mgawanyiko mrefu kupata nambari halisi ya mizizi ya mraba na tarakimu. Ingawa sio lazima, unaweza kupata ni rahisi kutekeleza mchakato huu ikiwa utaandaa mahali pako pa kazi na nambari zako katika sehemu rahisi za kufanya kazi. Kwanza, chora laini ya wima inayogawanya eneo lako la kazi katika sehemu mbili, kisha chora laini fupi ya usawa karibu na kulia juu kugawanya sehemu ya kulia katika sehemu ndogo ya juu na sehemu kubwa ya chini. Ifuatayo, tenga nambari zako kwa jozi, ukianzia kwenye nambari ya decimal. Kwa mfano, kufuata sheria hii, 79,520,789,182, 47897 inakuwa "7 95 20 78 91 82. 47 89 70". Andika namba yako juu kushoto.
Kwa mfano, wacha tujaribu kuhesabu mzizi wa mraba wa 780, 14. Chora mistari miwili kugawanya mahali pa kazi yako hapo juu na andika "7 80. 14" upande wa juu kushoto. Haijalishi ikiwa nambari ya kushoto ni nambari moja, na sio nambari mbili. Utaandika jibu lako (mzizi wa mraba 780, 14) kulia juu
Hatua ya 2. Pata nambari kubwa zaidi ambayo thamani ya mraba ni chini ya au sawa na nambari (au jozi ya nambari) upande wa kushoto
Anza kushoto kabisa kwa nambari yako, jozi zote mbili na nambari moja. Pata mraba bora kabisa ambao ni chini ya au sawa na nambari hii, kisha upate mzizi wa mraba wa mraba huu kamili. Nambari hii ni n. Andika n juu kulia na andika mraba wa n katika roboduara ya chini kulia.
Katika mfano wetu, kushoto kabisa ni nambari 7. Kwa sababu tunajua kwamba 22 = 4 ≤ 7 < 32 = 9, tunaweza kusema kwamba n = 2 kwa sababu 2 ni nambari kubwa zaidi ambayo thamani ya mraba ni chini ya au sawa na 7. Andika 2 katika roboduara ya juu kulia. Hii ndio tarakimu ya kwanza ya jibu letu. Andika 4 (thamani ya mraba ya 2) katika roboduara ya chini kulia. Nambari hii ni muhimu kwa hatua inayofuata.
Hatua ya 3. Toa nambari uliyohesabu tu kutoka kwa jozi la kushoto
Kama ilivyo kwa mgawanyiko mrefu, hatua inayofuata ni kuondoa thamani ya mraba tuliyoipata tu kutoka kwa sehemu ambayo tumechunguza tu. Andika nambari hii chini ya sehemu ya kwanza na uiondoe, andika jibu lako chini yake.
-
Katika mfano wetu, tutaandika 4 chini ya 7, kisha tuiondoe. Utoaji huu hutoa jibu
Hatua ya 3..
Hatua ya 4. Tonea jozi inayofuata
Sogeza chini sehemu inayofuata ya nambari ambayo unatafuta mizizi ya mraba, karibu na thamani ya kutoa ambayo umepata tu. Ifuatayo, ongeza idadi kwenye roboduara ya juu kulia na mbili na andika jibu katika roboduara ya kulia ya chini. Karibu na nambari uliyoandika tu, acha nafasi ya shida ya kuzidisha utakayoifanya katika hatua inayofuata kwa kuandika '"_ × _ ="'.
Katika mfano wetu, jozi inayofuata ya nambari zetu ni "80". Andika "80" karibu na 3 katika roboduara ya kushoto. Ifuatayo, zidisha nambari hapo juu kulia kwa mbili. Nambari hii ni 2, kwa hivyo 2 × 2 = 4. Andika "'4"' katika kitengo cha kulia cha chini, ikifuatiwa na _×_=.
Hatua ya 5. Jaza nafasi zilizo wazi katika roboduara ya kulia
Lazima ujaze nafasi zilizoachwa wazi ambazo umeandika tu kwenye kitengo cha kulia na nambari sawa sawa. Nambari hii lazima iwe nambari kubwa zaidi ambayo hufanya bidhaa iliyo katika roboduara ya kulia iwe chini au sawa na nambari iliyo kushoto sasa.
Katika mfano wetu, tunajaza nafasi zilizoachwa wazi na 8, na kusababisha 4 (8) × 8 = 48 × 8 = 384. Thamani hii ni kubwa kuliko 384. Kwa hivyo, 8 ni kubwa sana, lakini 7 inaweza kufanya kazi. Andika 7 katika nafasi zilizoachwa wazi na utatue: 4 (7) × 7 = 329. 7 ni nambari sahihi kwa sababu 329 ni chini ya 380. Andika 7 katika roboduara ya juu kulia. Hii ni nambari ya pili kwenye mzizi wa mraba wa 780, 14
Hatua ya 6. Toa nambari uliyohesabu tu kutoka kwa nambari sasa kushoto
Endelea na mnyororo wa kutoa kwa kutumia njia ya mgawanyiko mrefu. Chukua bidhaa ya shida katika roboduara ya kulia na uiondoe kutoka kwa nambari iliyo kushoto sasa, wakati unaandika majibu yako hapa chini.
Katika mfano wetu, tutatoa 329 kutoka 380, ambayo inatoa matokeo 51.
Hatua ya 7. Rudia hatua ya 4
Toa sehemu inayofuata ya nambari ambayo unatafuta mizizi ya mraba. Unapofikia nambari ya decimal katika nambari yako, andika nukta ya decimal katika jibu lako kwenye roboduara ya juu kulia. Kisha, ongeza nambari iliyo hapo juu kulia na 2 na uiandike karibu na shida tupu ya kuzidisha ("_ × _") kama hapo juu.
Katika mfano wetu, kwa kuwa sasa tunashughulikia hatua ya decimal mnamo 780, 14, andika nukta ya decimal baada ya jibu letu la sasa kulia juu. Ifuatayo, punguza chini jozi inayofuata (14) katika roboduara ya kushoto. Mara mbili nambari iliyo juu kulia (27) sawa na 54, kwa hivyo andika "54 _ × _ =" katika roboduara ya kulia ya chini
Hatua ya 8. Rudia hatua 5 na 6
Pata nambari kubwa zaidi kujaza nafasi zilizo wazi upande wa kulia, ambayo inatoa jibu chini ya au sawa na nambari iliyo kushoto sasa. Kisha, tatua shida.
Katika mfano wetu, 549 × 9 = 4941, ambayo ni chini ya au sawa na nambari upande wa kushoto (5114). 549 × 10 = 5490 ni kubwa sana, kwa hivyo jibu lako 9. Andika 9 kama nambari inayofuata katika roboduara ya juu kulia na toa bidhaa kutoka nambari upande wa kushoto: 5114 bala 4941 sawa na 173
Hatua ya 9. Ili kuendelea kuhesabu nambari, punguza zeros kushoto, na kurudia hatua 4, 5, na 6
Kwa usahihi zaidi, endelea na mchakato huu kupata mamia, maelfu, na maeneo zaidi katika jibu lako. Endelea kutumia mzunguko huu hadi upate mahali pa decimal unayotaka.
Kuelewa Mchakato
Hatua ya 1. Fikiria nambari uliyohesabu mizizi ya mraba kama eneo S la mraba
Kwa kuwa eneo la mraba ni P2 ambapo P ni urefu wa moja ya pande, kisha kwa kujaribu kupata mzizi wa mraba wa nambari yako, unajaribu kuhesabu urefu P wa upande huo wa mraba.
Hatua ya 2. Tambua vigeu vya herufi kwa kila tarakimu ya jibu lako
Weka ubadilishaji A kama nambari ya kwanza ya P (mzizi wa mraba tunajaribu kuhesabu). B itakuwa nambari ya pili, C nambari ya tatu, na kadhalika.
Hatua ya 3. Tambua vigeu vya herufi kwa kila sehemu ya nambari yako ya kuanzia
Weka S tofautia kwa jozi ya kwanza ya nambari katika S (thamani yako ya kwanza), Sb kwa jozi ya pili ya nambari, nk.
Hatua ya 4. Elewa uhusiano kati ya njia hii na mgawanyiko mrefu
Njia hii ya kupata mizizi ya mraba kimsingi ni shida ya mgawanyiko mrefu ambayo hugawanya nambari yako ya kwanza na mzizi wa mraba, ikikupa mzizi wa jibu. Kama tu katika shida ya mgawanyiko mrefu, unavutiwa tu na nambari inayofuata katika kila hatua. Kwa njia hii, unavutiwa tu na tarakimu mbili zifuatazo katika kila hatua (ambayo ni tarakimu inayofuata katika kila hatua ya mzizi wa mraba).
Hatua ya 5. Pata nambari kubwa zaidi ambayo thamani ya mraba ni chini ya au sawa na Sa.
Nambari ya kwanza ya A katika jibu letu ni nambari kubwa zaidi ambayo thamani ya mraba haizidi Sa (yaani A ili A² Sa <(A + 1) ²). Katika mfano wetu, Sa = 7, na 2² 7 <3², kwa hivyo A = 2.
Kumbuka kuwa, kwa mfano, ikiwa ungependa kugawanya 88962 na 7 kwa kutumia mgawanyiko mrefu, hatua za kwanza ni sawa sawa: utaona nambari ya kwanza ya 88962 (ambayo ni 8) na unatafuta nambari kubwa zaidi ambayo, ikizidishwa na 7, ni chini ya au sawa na 8 Kimsingi, unatafuta d ili 7 × d 8 <7 × (d + 1). Katika kesi hii, d itakuwa sawa na 1
Hatua ya 6. Fikiria thamani ya mraba ambayo eneo lako unakaribia kuanza kufanyia kazi
Jibu lako, mzizi wa mraba wa nambari yako ya kuanzia, ni P, ambayo inaelezea urefu wa mraba na eneo S (nambari yako ya kuanzia). Alama zako za A, B, C, zinawakilisha nambari katika thamani ya P. Njia nyingine ya kusema hii ni 10A + B = P (kwa jibu la tarakimu mbili), 100A + 10B + C = P (kwa tatu- jibu la tarakimu), nk.
Katika mfano wetu, (10A + B) ² = Uk2 = S = 100A² + 2 × 10A × B + B². Kumbuka kwamba 10A + B inawakilisha jibu letu, P, na B katika nafasi hizo na A katika nafasi ya makumi. Kwa mfano, na A = 1 na B = 2, basi 10A + B ni sawa na 12. (10A + B) ² ni eneo la mraba, wakati 100A² eneo la mraba mkubwa ndani yake, B² ni eneo la mraba mdogo ndani yake, na 10A × B ni eneo la mstatili mbili zilizobaki. Kwa kufanya mchakato huu mrefu na uliochanganyikiwa, tunapata eneo lote la mraba kwa kuongeza maeneo ya mraba na mstatili ndani.
Hatua ya 7. Toa A² kutoka kwa Sa.
Punguza nambari moja ya nambari (Sb) ya S. Thamani ya Sa Sb karibu na eneo lote la mraba, ambalo umetumia tu kutoa mraba mkubwa wa ndani. Salio linaweza kuzingatiwa kama nambari N1, ambayo tulipata katika hatua ya 4 (N1 = 380 katika mfano wetu). N1 ni sawa na 2 & mara: 10A × B + B² (eneo la mstatili mbili pamoja na eneo la mraba mdogo).
Hatua ya 8. Pata N1 = 2 × 10A × B + B², ambayo pia imeandikwa kama N1 = (2 × 10A + B) × B
Katika mfano wetu, tayari unajua N1 (380) na A (2), kwa hivyo lazima upate B. B ina uwezekano sio nambari nzima, kwa hivyo unahitaji kupata nambari kubwa zaidi ya B kama hiyo (2 × 10A + B) × B N1. Kwa hivyo unayo: N1 <(2 × 10A + (B + 1)) × (B + 1).)
Hatua ya 9. Maliza
Ili kutatua equation hii, zidisha A kwa 2, badilisha matokeo kwa nafasi ya makumi (sawa na kuzidisha kwa 10), weka B katika nafasi hizo, na uzidishe nambari na B. Kwa maneno mengine, tatua (2 × 10A + B) × B. Hivi ndivyo unavyofanya unapoandika "N_ × _ =" (na N = 2 × A) katika kitengo cha kulia cha chini katika hatua ya 4. Katika hatua ya 5, unapata nambari kubwa zaidi B inayolingana na nambari iliyo chini yake ili (2 × 10A + B) × B N1.
Hatua ya 10. Ondoa eneo (2 × 10A + B) × B kutoka eneo la jumla
Utoaji huu unasababisha eneo la S- (10A + B) ² ambayo haijahesabiwa (na ambayo itatumika kuhesabu nambari inayofuata kwa njia ile ile).
Hatua ya 11. Ili kuhesabu tarakimu inayofuata, C, kurudia mchakato
Punguza jozi inayofuata (Scya S kupata N2 kushoto, na upate C kubwa ili uwe na (2 × 10 × (10A + B) + C) × C N2 (sawa na kuandika mara mbili nambari mbili "AB" ikifuatiwa na "_ × _ =" Pata nambari kubwa inayolingana katika nafasi zilizoachwa wazi, ambayo inatoa jibu chini ya au sawa na N2, kama hapo awali.
Vidokezo
- Kusonga nukta ya desimali kwa nambari mbili kwa nambari (nyingi ya 100), inamaanisha kusonga nukta ya desimali kwa nambari nyingi kwenye mzizi wake wa mraba (nyingi ya 10).
- Katika mfano huu, 1.73 inaweza kuzingatiwa kama "salio": 780, 14 = 27, 9² + 1.73.
- Njia hii inaweza kutumika kwa msingi wowote, sio msingi 10 tu (decimal).
- Unaweza kutumia hesabu ambayo ni rahisi kwako. Watu wengine huandika matokeo juu ya nambari ya kwanza.
- Njia mbadala ya kutumia sehemu ndogo mara kwa mara ni kufuata fomula hii: z = (x ^ 2 + y) = x + y / (2x + y / (2x + y / (2x +…))). Kwa mfano, kuhesabu mzizi wa mraba wa 780, 14, nambari kamili ambayo thamani yake ya mraba iko karibu na 780, 14 ni 28, kwa hivyo z = 780, 14, x = 28, na y = -3, 86. Kuingiza nambari na kuhesabu makadirio tu kwa x + y / (2x) hutoa (kwa maneno rahisi) 78207/20800 au karibu 27, 931 (1); muhula ujao, 4374188/156607 au takriban 27, 930986 (5). Kila neno linaongeza juu ya maeneo 3 ya decimal kwa usahihi wa nambari ya awali ya maeneo ya desimali.
