Njia 3 za Kuunda Utatu

2024 Mwandishi: Jason Gerald | [email protected]. Mwisho uliobadilishwa: 2024-01-15 08:24

Utatu ni usemi wa algebra unaojumuisha maneno matatu. Uwezekano mkubwa zaidi, utaanza kujifunza jinsi ya kutengeneza trinomial ya quadratic, ikimaanisha utatu ulioandikwa kwa shoka la fomu² + bx + c. Kuna ujanja kadhaa wa kujifunza, ambao unaweza kutumika kwa aina anuwai ya trinomials ya quadratic, lakini utaweza kuzitumia vizuri na haraka kwa mazoezi. Polynomials za utaratibu wa juu, na maneno kama x³ au x⁴, haiwezi kutatuliwa kila wakati kwa njia ile ile, lakini unaweza kutumia utaftaji rahisi au ubadilishaji kuubadilisha kuwa shida ambayo inaweza kutatuliwa kama fomati nyingine yoyote ya quadratic.

Hatua

Njia ya 1 ya 3: Kuunda ukweli x² + bx + c

Hatua ya 1. Jifunze kuzidisha kwa PLDT

Labda umejifunza jinsi ya kuzidisha PLDT, au "Kwanza, Nje, Ndani, Mwisho" kuzidisha misemo kama (x + 2) (x + 4). Ni muhimu kujua jinsi kuzidisha huku kunafanya kazi kabla ya kuzingatia:

Ongeza makabila Kwanza: (x+2)(x+4) = x² + _
Ongeza makabila Nje: (x+2) (x +

Hatua ya 4.= x²+ 4x + _
Ongeza makabila Katika: (x +

Hatua ya 2.)(x+4) = x²+ 4x + 2x + _
Ongeza makabila Mwisho: (x +

Hatua ya 2.(x

Hatua ya 4.= x²+ 4x + 2x

Hatua ya 8.
Kurahisisha: x²+ 4x + 2x + 8 = x²+ 6x + 8

Hatua ya 2. Elewa kuandikisha

Unapozidisha binomial mbili kwa kutumia njia ya PLDT, unapata trinomial (usemi na maneno matatu) katika fomu x²+ b x + c, ambapo a, b, na c ni nambari za kawaida. Ikiwa unapoanza na equation ambayo ina umbo sawa, unaweza kuibadilisha kuwa binomial mbili.

Ikiwa hesabu hazijaandikwa kwa mpangilio huu, panga tena hesabu ili wawe na agizo hili. Kwa mfano, andika tena 3x - 10 + x² Inakuwa x² + 3x - 10.
Kwa sababu nguvu ya juu zaidi ni 2 (x², aina hii ya kujieleza inaitwa quadratic.

Hatua ya 3. Acha nafasi tupu ya jibu kwa njia ya kuzidisha PLDT

Kwa sasa, andika tu (_ _)(_ _) ambapo utaandika jibu. Tutaijaza wakati tunaifanyia kazi

Usiandike + au - kati ya maneno matupu kwa sababu hatujui ishara sahihi bado

Hatua ya 4. Jaza maneno ya kwanza

Kwa shida rahisi, muda wa kwanza wa trinomial yako ni x tu², masharti katika nafasi ya Kwanza ni daima x na x. Hizi ndizo sababu za neno x² kwa sababu x mara x = x².

Mfano wetu x² + 3x - 10 kuanzia na x², ili tuweze kuandika:
(x _) (x _)
Tutashughulikia shida ngumu zaidi katika sehemu inayofuata, pamoja na trinomials kuanzia na maneno kama 6x² au -x². Wakati huo huo, fuata maswali haya ya mfano.

Hatua ya 5. Tumia utaftaji kubahatisha Masharti ya Mwisho

Ukirudi nyuma na kusoma hatua za jinsi ya kuzidisha PLDT, utaona kuwa kuzidisha maneno ya Mwisho kutatoa kipindi cha mwisho katika polynomial (maneno ambayo hayana x). Kwa hivyo, lazima tupate nambari mbili ambazo zikiongezeka zitazalisha kipindi cha mwisho.

Katika mfano wetu x² + 3x - 10, kipindi cha mwisho ni -10.
Je! Ni sababu gani za -10? Nambari gani inazidishwa na -10?
Kuna uwezekano kadhaa: -1 mara 10, mara 1 -10, -2 mara 5, au mara 2 -5. Andika jozi hizi mahali fulani kuzikumbuka.
Usibadilishe jibu letu bado. Jibu letu bado linapaswa kuonekana kama hii: (x _) (x _).

Hatua ya 6. Jaribu uwezekano unaofanana na bidhaa ya nje na ya ndani

Tumepunguza masharti ya Mwisho hadi uwezekano machache. Tumia mfumo wa majaribio kujaribu kila uwezekano, ukizidisha maneno ya nje na ya ndani na kulinganisha bidhaa na trinomial yetu. Kwa mfano:

Shida yetu ya asili ilikuwa na neno "x" saa 3x, kwa hivyo matokeo yetu ya jaribio yanapaswa kufanana na neno hili.
Vipimo -1 na 10: (x-1) (x + 10). Nje + Ndani = 10x - x = 9x. Sio sahihi.
Vipimo 1 na -10: (x + 1) (x-10). -10x + x = -9x. Hii sio sawa. Kwa kweli, ikiwa utajaribu -1 na 10, utapata kwamba 1 na -10 ni kinyume cha jibu hapo juu: -9x badala ya 9x.
Uchunguzi -2 na 5: (x-2) (x + 5). 5x - 2x = 3x. Matokeo yake yanalingana na polynomial ya awali, kwa hivyo hapa kuna jibu sahihi: (x-2) (x + 5).
Katika visa rahisi kama hii, ikiwa hauna mara kwa mara mbele ya neno x², unaweza kutumia njia ya haraka: ongeza tu sababu mbili na uweke "x" nyuma yake (-2 + 5 → 3x). Walakini, njia hii haifanyi kazi kwa shida ngumu zaidi, kwa hivyo ni bora kukumbuka "njia ndefu" iliyoelezwa hapo juu.

Njia ya 2 ya 3: Kujaza Trinomials ngumu zaidi

Hatua ya 1. Tumia utaftaji rahisi ili kufanya shida kuwa ngumu zaidi

Kwa mfano, lazima uzingatie 3x² + 9x - 30. Pata nambari inayoweza kusababisha maneno yote matatu ("sababu kuu ya kawaida" au GCF). Katika kesi hii, GCF ni 3:

3x² = (3) (x²)
9x = (3) (3x)
-30 = (3)(-10)
Kwa hivyo, 3x² + 9x - 30 = (3) (x²+ 3x-10). Tunaweza kubainisha utatu mpya kwa kutumia hatua katika sehemu iliyo hapo juu. Jibu letu la mwisho litakuwa (3) (x-2) (x + 5).

Hatua ya 2. Tafuta sababu ngumu zaidi

Wakati mwingine, uandishi unaweza kuhusisha ubadilishaji, au unaweza kuhitaji mara kadhaa kupata usemi rahisi zaidi. Hapa kuna mifano:

2x²y + 14xy + 24y = (2y)(x² + 7x + 12)
x⁴ + 11x³ - 26x² = (x²)(x² + 11x - 26)
-x² + 6x - 9 = (-1)(x² - 6x + 9)
Usisahau kurudia tena trinomial mpya, ukitumia hatua katika Njia ya 1. Angalia kazi yako na utafute mifano ya shida kama hizo kwenye maswali ya mfano karibu na sehemu ya chini ya ukurasa huu.

Hatua ya 3. Tatua shida na nambari mbele ya x².

Baadhi ya trinomials za quadratic haziwezi kupunguzwa kuwa aina rahisi ya shida. Jifunze jinsi ya kutatua shida kama 3x² + 10x + 8, kisha ujizoeze mwenyewe na maswali ya mfano chini ya ukurasa huu:

Weka jibu letu kuwa: (_ _)(_ _)
Masharti yetu ya "Kwanza" kila mmoja atakuwa na x moja, na kuzizidisha hutoa 3x². Kuna uwezekano mmoja tu: (3x _) (x _).
Orodhesha sababu za 8. Uwezekano ni 1 mara 8 au 2 mara 4.
Jaribu uwezekano huu kwa kutumia maneno ya nje na ya ndani. Kumbuka kuwa mpangilio wa sababu ni muhimu sana kwa sababu muda wa nje unazidishwa na 3x badala ya x. Jaribu kila uwezekano mpaka utoke nje + ndani = 10x (kutoka shida ya asili):
(3x + 1) (x + 8) → 24x + x = 25x Hapana
(3x + 8) (x + 1) → 3x + 8x = 11x Hapana
(3x + 2) (x + 4) → 12x + 2x = 14x Hapana
(3x + 4) (x + 2) → 6x + 4x = 10x ndio. Hii ndio sababu sahihi.

Hatua ya 4. Tumia ubadilishaji wa trinomials za hali ya juu

Kitabu chako cha hesabu kinaweza kukushangaza na hesabu na nguvu kubwa, kama x⁴, hata baada ya kutumia utaftaji rahisi ili kufanya shida iwe rahisi. Jaribu kubadilisha tofauti mpya ambayo inageuka kuwa shida unayojua jinsi ya kutatua. Kwa mfano:

x⁵+ 13x³+ 36x
= (x) (x⁴+ 13x²+36)
Wacha tuunda tofauti mpya. Wacha tuseme y = x² na uweke ndani yake:
(x) (y²+ 13y + 36)
= (x) (y + 9) (y + 4). Sasa, ibadilishe kuwa tofauti ya mwanzo:
= (x) (x²+9) (x²+4)
= (x) (x ± 3) (x ± 2)

Njia ya 3 ya 3: Kuunda kesi maalum

Hatua ya 1. Pata nambari kuu

Angalia kuona ikiwa mara kwa mara katika kipindi cha kwanza au cha tatu cha trinomial ni nambari kuu. Nambari ya kwanza hugawanyika yenyewe na 1, kwa hivyo kuna sababu moja tu inayowezekana ya sababu za kawaida.

Kwa mfano, katika x² + 6x + 5, 5 ni nambari kuu, kwa hivyo lazima binomial iwe ya fomu (_ 5) (_ 1).
Katika shida ya 3x²+ 10x + 8, 3 ni nambari kuu, kwa hivyo lazima binomial iwe ya fomu (3x _) (x _).
Kwa maswali 3x²+ 4x + 1, zote 3 na 1 ni nambari kuu, kwa hivyo suluhisho pekee linalowezekana ni (3x + 1) (x + 1). (Bado unapaswa kuzidisha nambari hii kuangalia jibu lako kwa sababu baadhi ya misemo haiwezi kusambazwa kabisa - kwa mfano, 3x²+ 100x + 1 haina sababu.)

Hatua ya 2. Tafuta ikiwa utatu ni mraba kamili

Mraba mzuri wa mraba unaweza kusambazwa katika binomial mbili zinazofanana, na sababu hiyo kawaida huandikwa kama (x + 1)² na sio (x + 1) (x + 1). Hapa kuna mifano ambayo huwa inaonekana katika maswali:

x²+ 2x + 1 = (x + 1)², na x²-2x + 1 = (x-1)²
x²+ 4x + 4 = (x + 2)², na x²-4x + 4 = (x-2)²
x²+ 6x + 9 = (x + 3)², na x²-6x + 9 = (x-3)²
Mraba kamili ya trinomial katika fomu x² + bx + c daima ina masharti a na c ambayo ni mraba mzuri (kama vile 1, 4, 9, 16, au 25) na neno moja b (chanya au hasi) ambayo ni sawa na 2 (*a * √c).

Hatua ya 3. Tafuta ikiwa shida haina suluhisho

Sio trinomial zote zinaweza kusambazwa. Ikiwa huwezi kuhesabu trinomial ya quadratic (ax²+ bx + c), tumia fomula ya quadratic kupata jibu. Ikiwa jibu pekee ni mzizi wa mraba wa nambari hasi, hakuna suluhisho halisi ya nambari, basi shida haina sababu.

Kwa trinomials zisizo za mraba, tumia Kigezo cha Eisenstein, ambacho kimeelezewa katika sehemu ya Vidokezo

Majibu na Maswali ya Mfano

Majibu ya maswali "magumu ya ukweli".

Haya ni maswali kutoka kwa hatua "ngumu zaidi". Tumerahisisha shida kuwa rahisi, kwa hivyo jaribu kuzitatua kwa kutumia hatua katika njia ya 1, kisha angalia kazi yako hapa:
- (2y) (x² + 7x + 12) = (x + 3) (x + 4)
- (x²(x² + 11x - 26) = (x + 13) (x-2)
- (-1) (x² - 6x + 9) = (x-3) (x-3) = (x-3)²
Jaribu shida ngumu zaidi za kutengeneza.

Shida hizi zina sababu sawa katika kila muhula ambayo inapaswa kusambazwa kwanza. Zuia nafasi zilizoachwa wazi baada ya ishara sawa kuona majibu ili uweze kukagua kazi yako:
- 3x³+ 3x²-6x = (3x) (x + 2) (x-1) zuia tupu kuona jibu
- -5x³y²+ 30x²y²-25y²x = (-5xy ^ 2) (x-5) (x-1)
Jizoeze kutumia maswali. Shida hizi haziwezi kuhesabiwa kuwa hesabu rahisi, kwa hivyo itabidi upate jibu kwa fomu (_x + _) (_ x + _) ukitumia jaribio na kosa:
- 2x²+ 3x-5 = (2x + 5) (x-1) zuia kuona jibu
- 9x²+ 6x + 1 = (3x + 1) (3x + 1) = (3x + 1)² (Kidokezo: Unaweza kutaka kujaribu jozi zaidi ya moja kwa 9x.)
Vidokezo
- Ikiwa huwezi kujua jinsi ya kutengeneza trinomial ya quadratic (ax²+ bx + c), unaweza kutumia fomula ya quadratic kupata x.
- Wakati hauitaji kujua jinsi ya kufanya hivyo, unaweza kutumia Vigezo vya Eisenstein kuamua haraka ikiwa polynomial haiwezi kurahisishwa na kusambazwa. Kigezo hiki kinatumika kwa polynomial yoyote lakini hutumiwa vizuri kwa trinomials. Ikiwa kuna nambari kuu p ambayo hugawanya maneno mawili ya mwisho sawasawa na kukidhi masharti yafuatayo, basi polynomial haiwezi kurahisishwa:
  - Maneno ya kawaida (bila vigeuzi) ni nyingi za p lakini sio nyingi za p².
  - Kiambishi awali (kwa mfano, shoka²+ bx + c) sio anuwai ya p.
  - Kwa mfano, 14x² + 45x +51 haziwezi kurahisishwa kwa sababu kuna nambari kuu (3) ambayo inaweza kugawanywa na wote 45 na 51, lakini haigawanyiki na 14, na 51 haigawanyiki na 3².
Onyo

Ingawa hii ni kweli kwa trinomials ya quadratic, trinomial ambayo inaweza kuingizwa sio lazima kuwa bidhaa ya binomial mbili. Kwa mfano, x⁴ + 105x + 46 = (x² + 5x + 2) (x² - 5x + 23).