Jinsi ya Chora Grafu ya Mraba: Hatua 10 (na Picha)

2024 Mwandishi: Jason Gerald | [email protected]. Mwisho uliobadilishwa: 2024-02-01 14:15

Wakati inawakilishwa kielelezo, hesabu ya quadratic ni ya fomu shoka² + bx + c au (x - h)² + k andika herufi U au pinde U iliyogeuzwa iitwayo parabola. Kuchora picha ya equation ya quadratic ni kutafuta vertex, mwelekeo, na mara nyingi makutano ya x na y. Katika hali za hesabu rahisi za quadratic, kuweka seti ya maadili ya x na kupanga safu kwa msingi wa alama za matokeo inaweza kuwa ya kutosha. Angalia Hatua ya 1 hapa chini ili uanze.

Hatua

Hatua ya 1. Tambua aina ya mlinganyo wa nambari unayo

Mlinganyo wa Quadratic unaweza kuandikwa katika aina tatu tofauti: fomu ya jumla, fomu ya vertex, na fomu ya quadratic. Unaweza kutumia fomu yoyote kuchora mlinganyo wa quadratic; mchakato wa kuonyesha kila grafu ni tofauti kidogo. Ikiwa unafanya kazi ya nyumbani, kawaida utapokea maswali katika moja ya aina hizi mbili - kwa maneno mengine, hautaweza kuchagua, kwa hivyo ni bora kuzielewa zote mbili. Aina mbili za equation ya quadratic ni:

• Fomu ya jumla.

  Kwa fomu hii, equation ya quadratic imeandikwa kama: f (x) = ax² + bx + c ambapo a, b, na c ni nambari halisi na a sio sifuri.

  Kwa mfano, hesabu mbili za hesabu za fomu ya jumla ni f (x) = x² + 2x + 1 na f (x) = 9x² + 10x -8.

• Umbo la kilele.

  Kwa fomu hii, equation ya quadratic imeandikwa kama: f (x) = a (x - h)² + k ambapo a, h, na k ni nambari halisi na a sio sifuri. Inaitwa fomu ya vertex kwa sababu h na k itatoa vertex (midpoint) ya parabola yako kwa uhakika (h, k).

  Viwango viwili vya fomu ya vertex ni f (x) = 9 (x - 4)² + 18 na -3 (x - 5)² + 1

• Ili kuonyesha aina yoyote ya equation, lazima kwanza tupate kipeo cha parabola, ambayo ni katikati (h, k) mwishoni mwa curve. Uratibu wa vilele katika fomu ya jumla huhesabiwa kama: h = -b / 2a na k = f (h), wakati katika fomu ya kilele, h na k ziko kwenye equation.

Hatua ya 2. Fafanua anuwai zako

Ili kutatua shida ya quadratic, anuwai a, b, na c (au a, h, na k) kawaida inapaswa kufafanuliwa. Shida ya kawaida ya algebra itatoa equation ya quadratic na anuwai zinazopatikana, kawaida katika hali ya jumla, lakini wakati mwingine katika hali ya juu.

• Kwa mfano, kwa equation ya fomu ya jumla f (x) = 2x² + 16x + 39, tuna = 2, b = 16, na c = 39.
• Kwa usawa wa fomu ya kilele f (x) = 4 (x - 5)² + 12, tuna = 4, h = 5, na k = 12.

Hatua ya 3. Hesabu h

Katika usawa wa fomu ya vertex, thamani yako h tayari imepewa, lakini kwa usawa wa fomu ya jumla, thamani h lazima ihesabiwe. Kumbuka kwamba, kwa hesabu za fomu ya jumla, h = -b / 2a.

• Katika mfano wetu wa jumla wa fomu (f (x) = 2x² + 16x + 39), h = -b / 2a = -16/2 (2). Baada ya kutatua, tunapata kuwa h = - 4.
• Katika mfano wetu wa fomu ya vertex (f (x) = 4 (x - 5)² + 12), tunajua kwamba h = 5 bila kufanya hesabu yoyote.

Hatua ya 4. Hesabu k

Kama h, k tayari inajulikana katika equation ya fomu ya kilele. Kwa equations ya fomu ya jumla, kumbuka kuwa k = f (h). Kwa maneno mengine, unaweza kupata k kwa kubadilisha maadili yote ya x katika equation yako na maadili ya h ambayo umepata tu.

• Tayari tumeamua katika mfano wetu wa jumla kwamba h = -4. Kupata k, tunatatua equation yetu kwa kuziba thamani yetu ya h badala ya x:

  • k = 2 (-4)² + 16(-4) + 39.
  • k = 2 (16) - 64 + 39.

  • k = 32 - 64 + 39 =

    Hatua ya 7.

• Katika mfano wetu wa kilele, tena, tunajua thamani ya k (ambayo ni 12) bila kufanya hesabu yoyote.

Hatua ya 5. Chora kilele chako

Vertex ya parabola yako ni hatua (h, k) - h inawakilisha x-kuratibu, wakati k inawakilisha uratibu wa y. Vertex ni katikati ya parabola yako - ama chini ya U au juu ya U. Kujua vipeo ni sehemu muhimu ya kuchora parabola sahihi - mara nyingi, katika kazi ya shule, kuamua vertex ndio sehemu ya kutafuta katika swali.

• Katika mfano wetu wa jumla, kilele chetu ni (-4, 7). Kwa hivyo, parabola yetu itafikia hatua 4 kuelekea kushoto kutoka hatua 0 na 7 hapo juu (0, 0). Lazima tuonyeshe hatua hii kwenye grafu yetu, na kuhakikisha kuashiria kuratibu.
• Katika mfano wetu wa fomu ya vertex, vertex yetu ni (5, 12). Tunapaswa kuteka hatua 5 kwa kulia na hatua 12 hapo juu (0, 0).

Hatua ya 6. Chora mhimili wa parabola (hiari)

Mhimili wa ulinganifu wa parabola ni laini inayopita katikati yake, ikigawanya katikati kabisa. Kwenye mhimili huu, upande wa kushoto wa parabola utaonyesha upande wa kulia. Kwa hesabu za quadratic katika shoka la fomu² + bx + c au (x - h)² + k, mhimili wa ulinganifu ni laini ambayo ni sawa na mhimili wa y (kwa maneno mengine, wima haswa) na hupita kwenye vertex.

Katika kesi ya mfano wetu wa jumla wa fomu, mhimili ni laini inayolingana na mhimili wa y na kupita kwenye nukta (-4, 7). Ingawa sio sehemu ya parabola, kuweka alama nyembamba kwenye grafu yako mwishowe itakusaidia kuona umbo la ulinganifu wa pembe ya parabola

Hatua ya 7. Pata mwelekeo wa ufunguzi wa parabola

Baada ya kujua kilele na mhimili wa parabola, ijayo tunahitaji kujua ikiwa parabola inafungua au chini. Kwa bahati nzuri, hii ni rahisi. Ikiwa thamani ya a ni chanya, parabola itafunguliwa juu, wakati ikiwa thamani ya hasi, parabola itafunguliwa chini (i.e. parabola itabadilishwa).

• Kwa mfano wetu wa jumla wa fomu (f (x) = 2x² + 16x + 39), tunajua kwamba tuna parabola inayofunguka kwa sababu, katika equation yetu, = 2 (chanya).
• Kwa mfano wetu wa fomu ya vertex (f (x) = 4 (x - 5)² + 12), tunajua kwamba sisi pia tuna parabola inayofunguka kwa sababu = 4 (chanya).

Hatua ya 8. Ikiwa inahitajika, tafuta na chora x-kukatiza

Mara nyingi, katika kazi ya shule, utaulizwa kupata x-kukatiza kwenye parabola (ambayo ni nukta moja au mbili ambapo parabola hukutana na mhimili wa x). Hata ikiwa hautapata moja, nukta hizi mbili ni muhimu sana kwa kuchora parabola sahihi. Walakini, sio parabolas zote zilizo na x-kukatiza. Ikiwa parabola yako ina kitambulisho kinachofunguka na vertex yake iko juu ya mhimili wa x au ikiwa inafungua chini na kitambulisho chake iko chini ya mhimili x, parabola haitakuwa na x-kukatiza. Vinginevyo, suluhisha kukataliwa kwa x yako kwa moja ya njia zifuatazo:

• Fanya tu f (x) = 0 na utatue mlingano. Njia hii inaweza kutumika kwa hesabu rahisi za quadratic, haswa katika fomu ya kilele, lakini itakuwa ngumu sana kwa hesabu ngumu. Angalia hapa chini kwa mfano

  • f (x) = 4 (x - 12)² - 4
  • 0 = 4 (x - 12)² - 4
  • 4 = 4 (x - 12)²
  • 1 = (x - 12)²
  • Mzizi (1) = (x - 12)
  • +/- 1 = x -12. x = 11 na 13 ni kukamata x katika parabola.

• Jadili usawa wako. Usawa fulani katika shoka la fomu² + bx + c inaweza kuingizwa kwa urahisi katika fomu (dx + e) (fx + g), ambapo dx × fx = shoka², (dx × g + fx × e) = bx, na e × g = c. Katika kesi hii, x-intercepts yako ni x maadili ambayo itafanya neno lolote katika mabano = 0. Kwa mfano:

  • x² + 2x + 1
  • = (x + 1) (x + 1)
  • Katika kesi hii, kukatwa kwako kwa x ni -1 kwa sababu kutengeneza x sawa -1 kutafanya neno lolote katika mabano kuwa sawa 0.

• Tumia fomula ya quadratic. Ikiwa huwezi kutatua kwa urahisi kukataliwa kwa x yako au sababu equation yako, tumia equation maalum inayoitwa fomati ya quadratic ambayo iliundwa kwa kusudi hili. Ikiwa haijatatuliwa bado, badilisha mlinganyo wako kuwa shoka la fomu² + bx + c, kisha ingiza a, b, na c katika fomula x = (-b +/- sqrt (b)² (4ac)) / 2a. Kumbuka kuwa njia hii mara nyingi inakupa majibu mawili kwa thamani ya x, ambayo ni sawa - inamaanisha tu kwamba parabola yako ina viambatisho viwili vya x. Angalia hapa chini kwa mfano:

  • -5x² + 1x + 10 imewekwa katika fomati ya quadratic kama hii:
  • x = (-1 +/- Mzizi (1.)² - 4(-5)(10)))/2(-5)
  • x = (-1 +/- Mzizi (1 + 200)) / - 10
  • x = (-1 +/- Mzizi (201)) / - 10
  • x = (-1 +/- 14, 18) / - 10
  • x = (13, 18 / -10) na (-15, 18 / -10). Kukamata x katika parabola ni x = - 1, 318 na 1, 518
  • Mfano wetu uliopita wa fomu ya jumla, 2x² + 16x + 39 imewekwa katika fomati ya quadratic kama ifuatavyo:
  • x = (-16 +/- Mzizi (16² - 4(2)(39)))/2(2)
  • x = (-16 +/- Mzizi (256 - 312)) / 4
  • x = (-16 +/- Mzizi (-56) / - 10
  • Kwa kuwa haiwezekani kupata mzizi wa mraba wa nambari hasi, tunajua kuwa parabola hii hana x-kukatiza.

Hatua ya 9. Ikiwa inahitajika, tafuta na chora y-kukatiza

Ingawa mara nyingi sio lazima kutafuta y-kukatiza katika equations (mahali ambapo parabola hupita kupitia mhimili wa y), mwishowe italazimika kuipata, haswa ikiwa uko shuleni. Mchakato ni rahisi sana - fanya tu x = 0, kisha utatue equation yako kwa f (x) au y, ambayo inatoa thamani ya y ambapo parabola yako hupita kupitia mhimili wa y. Tofauti na kukatwa kwa x, parabola ya kawaida inaweza kuwa na kukataliwa kwa y moja. Kumbuka - kwa equations ya fomu ya jumla, y-kukatiza iko kwa y = c.

• Kwa mfano, tunajua kuwa equation yetu ya quadratic ni 2x² + 16x + 39 ina y-kukatiza kwa y = 39, lakini pia inaweza kupatikana kwa njia ifuatayo:

  • f (x) = 2x² + 16x + 39
  • f (x) = 2 (0)² + 16(0) + 39

  • f (x) = 39. Y-kukatiza parabola iko saa y = 39.

    Kama ilivyoonyeshwa hapo juu, kukataliwa kwa y ni saa y = c.

• Njia ya equation yetu ya vertex ni 4 (x - 5)² + 12 ina y-kukatiza ambayo inaweza kupatikana kwa njia ifuatayo:

  • f (x) = 4 (x - 5)² + 12
  • f (x) = 4 (0 - 5)² + 12
  • f (x) = 4 (-5)² + 12
  • f (x) = 4 (25) + 12

  • f (x) = 112. Y-kukatiza parabola iko saa y. 112.

Hatua ya 10. Ikiwa inahitajika, chora vidokezo vya ziada, kisha chora grafu

Sasa unayo vertex, mwelekeo, x-kukatiza, na pengine, y-kukatiza katika equation yako. Katika hatua hii, unaweza kujaribu kuchora parabola yako ukitumia alama ulizonazo kama mwongozo, au utafute vidokezo vingine kujaza parabola yako ili curve unayochora iwe sahihi zaidi. Njia rahisi zaidi ya kufanya hivyo ni kuingiza tu nambari za x katika upande wowote wa vertex yako, kisha panga vidokezo hivi ukitumia y-maadili unayopata. Mara nyingi, waalimu wanakuuliza utafute vidokezo kadhaa kabla ya kuchora parabola yako.

• Wacha tuangalie equation x² + 2x + 1. Tayari tunajua kuwa kukataliwa kwa x kunapatikana tu kwa x = -1. Kwa kuwa curve inagusa tu kukatwa kwa x wakati mmoja, tunaweza kuhitimisha kuwa vertex ni x-kukatiza, ambayo inamaanisha kuwa vertex ni (-1, 0). Tunayo nukta moja tu ya parabola hii - haitoshi kuchora parabola nzuri. Wacha tutafute vidokezo vingine ili kuhakikisha kuwa tunachora grafu kamili.

  • Wacha tupate maadili y kwa maadili yafuatayo x: 0, 1, -2, na -3.
  • Kwa 0: f (x) = (0)² + 2 (0) + 1 = 1. Hoja yetu ni (0, 1).

  • Kwa 1: f (x) = (1)² + 2 (1) + 1 = 4. Hoja yetu ni (1, 4).

  • Kwa -2: f (x) = (-2)² + 2 (-2) + 1 = 1. Hoja yetu ni (-2, 1).

  • Kwa -3: f (x) = (-3)² + 2 (-3) + 1 = 4. Hoja yetu ni (-3, 4).

  • Chora vidokezo hivi kwenye grafu na chora umbo lako lenye umbo la U. Kumbuka kuwa parabola ni ulinganifu kabisa - wakati vidokezo vyako upande mmoja wa parabola ni nambari kamili, unaweza kupunguza kazi ya kuonyesha tu nukta iliyopewa kwenye mhimili wa ulinganifu wa parabola kupata nukta sawa upande wa pili wa parabola.

Vidokezo

• Nambari za kuzunguka au tumia visehemu kulingana na ombi la mwalimu wako wa algebra. Hii itakusaidia graph bora equation ya quadratic.
• Kumbuka kuwa katika f (x) = shoka² + bx + c, ikiwa b au c ni sawa na sifuri, nambari hizi zitatoweka. Kwa mfano, 12x² + 0x + 6 inakuwa 12x² + 6 kwa sababu 0x ni 0.