Fomu ya mizizi ni taarifa ya algebra ambayo ina ishara ya mzizi wa mraba (au mzizi wa mchemraba au zaidi). Fomu hii mara nyingi inaweza kuwakilisha nambari mbili ambazo zina thamani sawa ingawa zinaweza kuonekana tofauti kwa mtazamo wa kwanza (kwa mfano, 1 / (sqrt (2) - 1) = sqrt (2) +1). Kwa hivyo, tunahitaji "fomula ya kawaida" ya aina hii ya fomu. Ikiwa kuna taarifa mbili, zote katika fomula ya kawaida, ambazo zinaonekana tofauti, sio sawa. Wataalam wa hesabu wanakubali kwamba uundaji wa kawaida wa fomu ya quadratic hutimiza mahitaji yafuatayo:
- Epuka kutumia vipande
- Usitumie nguvu za sehemu
- Epuka kutumia fomu ya mizizi kwenye dhehebu
- Haina kuzidisha kwa aina mbili za mizizi
- Nambari chini ya mzizi haziwezi kuwa na mizizi tena
Matumizi moja ya vitendo hii ni katika mitihani kadhaa ya uchaguzi. Unapopata jibu, lakini jibu lako sio sawa na chaguo zilizopo, jaribu kurahisisha kuwa fomula ya kawaida. Kwa kuwa watunga maswali kawaida huandika majibu kwa fomula za kawaida, fanya vivyo hivyo na majibu yako ili kufanana na yao. Katika maswali ya insha, amri kama "kurahisisha jibu lako" au "kurahisisha mizizi yote" inamaanisha kuwa wanafunzi lazima wafanye hatua zifuatazo mpaka watakapofikia fomula ya kawaida kama hapo juu. Hatua hii inaweza pia kutumiwa kutatua mlingano, ingawa aina zingine za hesabu ni rahisi kusuluhisha katika fomula zisizo za kawaida.
Hatua
Hatua ya 1. Ikiwa ni lazima, pitia sheria za mizizi ya kufanya kazi na vihamasishaji (vyote ni sawa - mizizi ni nguvu za vipande) kama tunavyozihitaji katika mchakato huu
Pia pitia sheria za kurahisisha polynomials na fomu za busara kwani tutahitaji kurahisisha.
Njia 1 ya 6: Mraba kamili
Hatua ya 1. Kurahisisha mizizi yote iliyo na mraba kamili
Mraba kamili ni bidhaa ya nambari yenyewe, kwa mfano 81, ambayo ni bidhaa ya 9 x 9. Ili kurahisisha mraba kamili, toa tu mzizi wa mraba na andika mzizi wa nambari.
- Kwa mfano, 121 ni mraba kamili kwa sababu 11 x 11 ni sawa na 121. Kwa hivyo, unaweza kurahisisha mzizi (121) hadi 11, kwa kuondoa ishara ya mizizi.
- Ili kurahisisha hatua hii, utahitaji kukumbuka mraba mraba kumi na mbili kamili: 1 x 1 = 1, 2 x 2 = 4, 3 x 3 = 9, 4 x 4 = 16, 5 x 5 = 25, 6 x 6 = 36, 7 x 7 = 49, 8 x 8 = 64, 9 x 9 = 81, 10 x 10 = 100, 11 x 11 = 121, 12 x 12 = 144
Hatua ya 2. Kurahisisha mizizi yote iliyo na cubes kamili
Mchemraba kamili ni bidhaa ya kuzidisha nambari yenyewe mara mbili, kwa mfano 27, ambayo ni bidhaa ya 3 x 3 x 3. Ili kurahisisha fomu ya mzizi wa mchemraba kamili, toa tu mzizi wa mraba na andika mzizi wa mraba ya nambari.
Kwa mfano, 343 ni mchemraba kamili kwa sababu ni bidhaa ya 7 x 7 x 7. Kwa hivyo mzizi wa mchemraba wa 343 ni 7
Njia 2 ya 6: Kugeuza Vifungu kuwa Mizizi
Au kubadilisha njia nyingine (inasaidia wakati mwingine), lakini usiwachanganye katika taarifa sawa na mzizi (5) + 5 ^ (3/2). Tutafikiria kuwa unataka kutumia fomu ya mizizi na tutatumia alama ya mizizi (n) kwa mizizi ya mraba na sqrt ^ 3 (n) kwa mzizi wa mchemraba.
Hatua ya 1. Chukua moja kwa nguvu ya sehemu hiyo na ubadilishe kuwa fomu ya mizizi, kwa mfano x ^ (a / b) = mzizi kwa nguvu ya b ya x ^ a
Ikiwa mzizi wa mraba uko katika fomu ya sehemu, ibadilishe kuwa fomu ya kawaida. Kwa mfano, mzizi wa mraba (2/3) wa 4 = mzizi (4) ^ 3 = 2 ^ 3 = 8
Hatua ya 2. Badilisha vibadilishaji hasi kuwa sehemu ndogo, kwa mfano x ^ -y = 1 / x ^ y
Fomula hii inatumika tu kwa vielelezo vya mara kwa mara na vya busara. Ikiwa unashughulika na fomu kama 2 ^ x, usibadilishe, hata ikiwa shida inaonyesha kuwa x inaweza kuwa sehemu au nambari hasi
Hatua ya 3. Unganisha kabila moja na kurahisisha fomu ya busara inayosababishwa.
Njia 3 ya 6: Kuondoa Vifungu katika Mizizi
Fomula ya kawaida inahitaji kwamba mzizi uwe nambari kamili.
Hatua ya 1. Angalia nambari chini ya mzizi wa mraba ikiwa bado ina sehemu
Ikiwa bado,…
Hatua ya 2. Badilisha kwa sehemu iliyo na mizizi miwili ukitumia mzizi wa kitambulisho (a / b) = sqrt (a) / sqrt (b)
Usitumie kitambulisho hiki ikiwa dhehebu ni hasi, au ikiwa ni tofauti ambayo inaweza kuwa hasi. Katika kesi hii, fanya sehemu iwe rahisi kwanza
Hatua ya 3. Kurahisisha kila mraba kamili wa matokeo
Hiyo ni, badilisha sqrt (5/4) hadi sqrt (5) / sqrt (4), kisha urahisishe kwa sqrt (5) / 2.
Hatua ya 4. Tumia njia zingine za kurahisisha kama vile kurahisisha sehemu ndogo ngumu, kuchanganya maneno sawa, n.k
Njia ya 4 ya 6: Kuchanganya Mizizi ya Kuzidisha
Hatua ya 1
sqrt (a) * sqrt (b) = sqrt (ab). Kwa mfano, badilisha mzizi (2) * mzizi (6) uwe mzizi (12).
- Kitambulisho hapo juu, sqrt (a) * sqrt (b) = sqrt (ab), halali ikiwa nambari iliyo chini ya ishara ya sqrt sio hasi. Usitumie fomula hii wakati a na b ni hasi kwa sababu utafanya makosa ya kufanya sqrt (-1) * sqrt (-1) = sqrt (1). Taarifa upande wa kushoto ni sawa na -1 (au haijafafanuliwa ikiwa hutumii nambari ngumu) wakati taarifa upande wa kulia ni +1. Ikiwa a na / au b ni hasi, kwanza "badilisha" ishara kama sqrt (-5) = i * sqrt (5). Ikiwa fomu iliyo chini ya ishara ya mizizi ni ya kutofautisha ambayo ishara yake haijulikani kutoka kwa muktadha au inaweza kuwa chanya au hasi, iache kama ilivyo kwa wakati huu. Unaweza kutumia kitambulisho cha jumla zaidi, lakini kawaida fomula hii haisaidii sana kwa sababu inaongeza ugumu wa kutumia kazi ya sgn (signum).
- Utambulisho huu ni halali tu ikiwa fomu za mizizi zina kielelezo sawa. Unaweza kuzidisha mizizi tofauti ya mraba kama vile sqrt (5) * sqrt ^ 3 (7) kwa kuibadilisha kuwa mizizi sawa ya mraba. Ili kufanya hivyo, badilisha kwa muda mizizi ya mraba iwe sehemu: sqrt (5) * sqrt ^ 3 (7) = 5 ^ (1/2) * 7 ^ (1/3) = 5 ^ (3/6) * 7 ^ (2/6) = 125 ^ (1/6) * 49 ^ (1/6). Kisha tumia sheria ya kuzidisha kuzidisha hizo mbili hadi mizizi ya mraba ya 6125.
Njia ya 5 ya 6: Kuondoa Kiwango cha Mraba kutoka kwa Mizizi
Hatua ya 1. Kuweka mizizi isiyokamilika kuwa sababu kuu
Sababu ni nambari ambayo ikizidishwa na nambari nyingine inaunda nambari - kwa mfano, 5 na 4 ni sababu mbili za 20. Ili kuvunja mizizi isiyo kamili, andika sababu zote za nambari (au nyingi iwezekanavyo, ikiwa nambari ni kubwa sana) mpaka utapata mraba kamili.
Kwa mfano, jaribu kupata sababu zote za 45: 1, 3, 5, 9, 15, na 45. 9 ni sababu ya 45 na pia ni mraba kamili (9 = 3 ^ 2). 9 x 5 = 45
Hatua ya 2. Ondoa vizidishaji vyote ambavyo ni mraba kamili kutoka ndani ya mizizi ya mraba
9 ni mraba kamili kwa sababu ni bidhaa ya 3 x 3. Chukua 9 kutoka kwa mzizi wa mraba na uibadilishe na 3 mbele ya mizizi ya mraba, ukiacha 5 ndani ya mzizi wa mraba. Ikiwa "utarudisha" 3 kwenye mzizi wa mraba, zidisha yenyewe kutengeneza 9, na ukizidisha kwa 5 inarudi 45. Mizizi 3 ya 5 ni njia rahisi ya kuelezea mzizi wa 45.
Hiyo ni, sqrt (45) = sqrt (9 * 5) = sqrt (9) * sqrt (5) = 3 * sqrt (5)
Hatua ya 3. Pata mraba kamili katika ubadilishaji
Mzizi wa mraba wa mraba ni | a |. Unaweza kurahisisha hii kwa "a" tu ikiwa tofauti inayojulikana ni chanya. Mzizi wa mraba wa a kwa nguvu ya 3 wakati umevunjwa hadi kwenye mizizi ya mraba ya mara mraba - kumbuka kwamba viongezaji huongeza wakati tunazidisha nambari mbili kwa nguvu ya a, kwa hivyo nyakati za mraba ni sawa na nguvu ya tatu.
Kwa hivyo, mraba kamili katika mfumo wa cubed ni mraba
Hatua ya 4. Ondoa ubadilishaji ulio na mraba kamili kutoka kwenye mizizi ya mraba
Sasa, chukua mraba kutoka mizizi ya mraba na ubadilishe kuwa | a. Njia rahisi ya mzizi kwa nguvu ya 3 ni | a | mzizi a.
Hatua ya 5. Unganisha maneno sawa na urahisishe mizizi yote ya matokeo ya hesabu
Njia ya 6 ya 6: Kainisha Dhehebu
Hatua ya 1. Fomula ya kawaida inahitaji kwamba dhehebu liwe nambari kamili (au polynomial ikiwa ina ubadilishaji) iwezekanavyo
-
Ikiwa dhehebu lina neno moja chini ya ishara ya mzizi, kama vile […] / mzizi (5), kisha zidisha hesabu na dhehebu kwa mizizi hiyo kupata […] * sqrt (5) / sqrt (5) * sqrt (5) = […] * mzizi (5) / 5.
Kwa mizizi ya mchemraba au zaidi, ongeza na mizizi inayofaa ili dhehebu liwe na busara. Ikiwa dhehebu ni mzizi ^ 3 (5), ongeza hesabu na nambari kwa sqrt ^ 3 (5) ^ 2
-
Ikiwa dhehebu linajumuisha kuongeza au kutoa mizizi miwili ya mraba kama vile sqrt (2) + sqrt (6), ongeza hesabu na dhehebu na kiunganishi, ambayo ni fomu ile ile lakini na ishara ya kinyume. Kisha […] / (mzizi (2) + mzizi (6)) = […] (mzizi (2) -mzizi (6)) / (mzizi (2) + mzizi (6)) (mzizi (2) -mizi (6)). Kisha tumia fomula ya kitambulisho ya tofauti ya miraba miwili [(a + b) (ab) = a ^ 2-b ^ 2] kuhesabia madhehebu, kurahisisha (sqrt (2) + sqrt (6)) (sqrt (2) -sqrt (6)) = sqrt (2) ^ 2 - sqrt (6) ^ 2 = 2-6 = -4.
- Hii inatumika pia kwa madhehebu kama 5 + sqrt (3) kwa sababu nambari zote ni mizizi ya nambari zingine. [1 / (5 + sqrt (3)) = (5-sqrt (3)) / (5 + sqrt (3)) (5-sqrt (3)) = (5-sqrt (3)) / (5 ^ 2-sqrt (3) ^ 2) = (5-sqrt (3)) / (25-3) = (5-sqrt (3)) / 22]
- Njia hii inatumika pia kwa kuongeza mizizi kama vile sqrt (5) -sqrt (6) + sqrt (7). Ukiziweka katika (sqrt (5) -sqrt (6)) + sqrt (7) na kuzidisha na (sqrt (5) -sqrt (6)) - sqrt (7), jibu haliko katika mfumo wa busara, lakini bado kwenye mzizi wa + b * (30) ambapo a na b tayari ni nambari za busara. Kisha kurudia mchakato na viunganishi a + b * sqrt (30) na (a + b * sqrt (30)) (a-b * sqrt (30)) itakuwa ya busara. Kwa asili, ikiwa unaweza kutumia ujanja huu kuondoa ishara moja ya mizizi kwenye dhehebu, unaweza kuirudia mara nyingi kuondoa mizizi yote.
- Njia hii pia inaweza kutumika kwa madhehebu ambayo yana mzizi wa juu, kama mzizi wa nne wa 3 au mzizi wa saba wa 9. Zidisha hesabu na dhehebu na mkutano wa dhehebu. Kwa bahati mbaya, hatuwezi kupata mkutano wa dhehebu moja kwa moja na ni ngumu kufanya hivyo. Tunaweza kupata jibu katika kitabu cha algebra juu ya nadharia ya nambari, lakini sitaenda kwenye hiyo.
Hatua ya 2. Sasa dhehebu liko katika hali ya busara, lakini nambari inaonekana kama fujo
Sasa unachohitajika kufanya ni kuzidisha na mkutano wa dhehebu. Endelea na uzidishe kama tunavyoweza kuzidisha polynomials. Angalia kuona ikiwa sheria yoyote inaweza kuachwa, kurahisishwa, au kuunganishwa, ikiwa inawezekana.
Hatua ya 3. Ikiwa dhehebu ni nambari hasi, ongeza hesabu na dhehebu kwa -1 kuifanya iwe chanya
Vidokezo
- Unaweza kutafuta mtandaoni kwa tovuti ambazo zinaweza kusaidia kurahisisha fomu za mizizi. Andika tu equation na ishara ya mizizi, na baada ya kubonyeza Ingiza, jibu litaonekana.
- Kwa maswali rahisi, huenda usitumie hatua zote katika nakala hii. Kwa maswali magumu zaidi, unaweza kuhitaji kutumia hatua kadhaa zaidi ya mara moja. Tumia hatua "rahisi" mara kadhaa, na angalia ikiwa jibu lako linatoshea vigezo vya kawaida vya uundaji tuliyojadili hapo awali. Ikiwa jibu lako liko katika fomula ya kawaida, umemaliza; lakini ikiwa sivyo, unaweza kuangalia moja ya hatua zilizo hapo juu kukusaidia kuimaliza.
- Marejeleo mengi ya "fomula ya kawaida iliyopendekezwa" ya fomu ya mizizi pia inatumika kwa nambari ngumu (i = mzizi (-1)). Hata kama taarifa ina "i" badala ya mzizi, epuka madhehebu ambayo bado yana i iwezekanavyo.
- Maagizo mengine katika kifungu hiki hufikiria kuwa mizizi yote ni mraba. Kanuni zile zile za jumla zinatumika kwa mizizi ya nguvu za juu, ingawa sehemu zingine (haswa kuhesabu madhehebu) zinaweza kuwa ngumu kufanya kazi nazo. Kuamua mwenyewe ni sura gani unayotaka, kama sqr ^ 3 (4) au sqr ^ 3 (2) ^ 2. (Sikumbuki ni aina gani kawaida hupendekezwa katika vitabu vya kiada).
- Baadhi ya maagizo katika kifungu hiki hutumia neno "fomula ya kawaida" kuelezea "fomu ya kawaida". Tofauti ni kwamba fomula ya kawaida inakubali tu fomu 1 + sqrt (2) au sqrt (2) +1 na inazingatia aina zingine kama zisizo za kawaida; Fomu wazi inadhani wewe, msomaji, una akili ya kutosha kuona "kufanana" kwa nambari hizi mbili ingawa hazifanani kwa maandishi ('sawa' inamaanisha mali zao za hesabu (nyongeza ya kubadilika), sio mali yao ya algebra (mzizi (2) ni mzizi usio hasi wa x ^ 2-2)). Tunatumahi kuwa wasomaji wataelewa uzembe kidogo katika matumizi ya istilahi hii.
- Ikiwa dalili zozote zinaonekana kuwa za kutatanisha au zinazopingana, fanya hatua zote ambazo hazina utata na zenye msimamo, halafu chagua sura yoyote unayopendelea.
