Jinsi ya Kuchochea Kazi Zisizojulikana: Hatua 7 (na Picha)

2024 Mwandishi: Jason Gerald | [email protected]. Mwisho uliobadilishwa: 2024-01-19 22:14

Katika hesabu, wakati una equation ya y iliyoandikwa katika fomu x (km y = x² -3x), ni rahisi kutumia mbinu za msingi za kuchimba (inajulikana na wataalam wa hesabu kama mbinu zisizotekelezwa za kazi) kupata hiyo inayotokana. Walakini, kwa equations ambazo ni ngumu kujenga na tu y y upande mmoja wa ishara sawa (k. X² + y² - 5x + 8y + 2xy² = 19), njia tofauti inahitajika. Na mbinu inayoitwa derivatives kamili ya kazi, ni rahisi kupata derivatives ya equations anuwai anuwai kama unajua misingi ya derivatives wazi ya kazi!

Hatua

Njia 1 ya 2: Kutafuta Mlinganisho Rahisi Haraka

Hatua ya 1. Toa masharti ya x kama kawaida

Wakati wa kujaribu kupata equation anuwai kama x² + y² - 5x + 8y + 2xy² = 19, inaweza kuwa ngumu kujua ni wapi pa kuanzia. Kwa bahati nzuri, hatua ya kwanza ya derivative ya kazi wazi ni rahisi zaidi. Pata tu maneno ya x na viboreshaji pande zote za equation kulingana na sheria za derivatives za kawaida (wazi) kuanza. Puuza masharti ya y kwa wakati huu.

• Wacha tujaribu kupata mfano wa equation rahisi hapo juu. x² + y² - 5x + 8y + 2xy² = 19 ina masharti mawili x: x² na -5x. Ikiwa tunataka kupata equation, lazima tufanye hii kwanza, kama hii:

  x² + y² - 5x + 8y + 2xy² = 19

  (Leta chini kwa nguvu ya 2 kwa x² kama mgawo, ondoa x katika -5x, na ubadilishe 19 hadi 0)

  2x + y² - 5 + 8y + 2xy² = 0

Hatua ya 2. Toa maneno y na uongeze (dy / dx) karibu na kila kipindi

Kwa hatua yako inayofuata, pata tu maneno y kwa njia ile ile uliyotokana na maneno ya x. Wakati huu, hata hivyo, ongeza (dy / dx) karibu na kila kipindi kama unavyoweza kuongeza coefficients. Kwa mfano, ikiwa unapunguza y², basi derivative inakuwa 2y (dy / dx). Puuza masharti ambayo yana x na y kwa sasa.

• Katika mfano wetu, equation yetu sasa inaonekana kama hii: 2x + y² - 5 + 8y + 2xy² = 0. Tutafanya hatua inayofuata ya kupata y kama ifuatavyo:

  2x + y² - 5 + 8y + 2xy² = 0

  (Leta chini kwa nguvu ya 2 kwa y² kama coefficients, ondoa y kwa 8y, na uweke dy / dx karibu na kila muda).

  2x + 2y (dy / dx) - 5 + 8 (dy / dx) + 2xy²= 0

Hatua ya 3. Tumia kanuni ya bidhaa au sheria ya mgawo kwa maneno yaliyo na x na y

Kufanya kazi na maneno ambayo ina x na y ni ngumu kidogo, lakini ikiwa unajua sheria za bidhaa na mgawo wa derivatives, utapata kuwa rahisi. Ikiwa maneno x na y yamezidishwa, tumia kanuni ya bidhaa ((f × g) '= f' × g + g × f '), badala ya neno x kwa f na neno y kwa g. Kwa upande mwingine, ikiwa masharti x na y ni ya kipekee, tumia sheria ya mgawo ((f / g) '= (g × f' - g '× f) / g²), badala ya nambari kwa f na dhehebu kwa g.

• Katika mfano wetu, 2x + 2y (dy / dx) - 5 + 8 (dy / dx) + 2xy² = 0, tuna neno moja tu ambalo lina x na y - 2xy². Kwa kuwa x na y zimezidishwa na kila mmoja, tutatumia sheria ya bidhaa kupata kama ifuatavyo:

  2xy² = (2x) (y²- kuweka 2x = f na y² = g katika (f × g) '= f' × g + g × f '

  [f × g] '= (2x)' × (y²+ 2x) × (y²)'

  (f × g) '= (2) × (y²+ 2x) × (2y (dy / dx))

  (f × g) '= 2y² + 4xy (dy / dx)

• Kuongeza hii kwa equation yetu kuu, tunapata 2x + 2y (dy / dx) - 5 + 8 (dy / dx) + 2y² + 4xy (dy / dx) = 0

Hatua ya 4. Peke yake (dy / dx)

Uko karibu kumaliza! Sasa, unachotakiwa kufanya ni kutatua equation (dy / dx). Hii inaonekana kuwa ngumu, lakini kawaida sio - kumbuka kuwa maneno yoyote mawili a na b yanazidishwa na (dy / dx) yanaweza kuandikwa kama (a + b) (dy / dx) kwa sababu ya mali ya kugawanya ya kuzidisha. Mbinu hii inaweza kufanya kutengwa (dy / dx) iwe rahisi - songa tu maneno mengine yote upande wa pili wa mabano, kisha ugawanye kwa maneno kwenye mabano karibu na (dy / dx).

• Katika mfano wetu, tunarahisisha 2x + 2y (dy / dx) - 5 + 8 (dy / dx) + 2y² + 4xy (dy / dx) = 0 kama ifuatavyo:

  2x + 2y (dy / dx) - 5 + 8 (dy / dx) + 2y² + 4xy (dy / dx) = 0

  (2y + 8 + 4xy) (dy / dx) + 2x - 5 + 2y² = 0

  (2y + 8 + 4xy) (dy / dx) = -2y² - 2x + 5

  (dy / dx) = (-2y² - 2x + 5) / (2y + 8 + 4xy)

  (dy / dx) = (-2y² - 2x + 5) / (2 (2xy + y + 4)

Njia 2 ya 2: Kutumia Mbinu za hali ya juu

Hatua ya 1. Ingiza thamani (x, y) kupata (dy / dx) kwa alama yoyote

Salama! Umeshapata equation yako kabisa - sio kazi rahisi kwenye jaribio la kwanza! Kutumia equation hii kupata gradient (dy / dx) kwa hatua yoyote (x, y) ni rahisi kama kuziba maadili ya x na y kwa nukta yako upande wa kulia wa equation, kisha kutafuta (dy / dx).

• Kwa mfano, tuseme tunataka kupata gradient katika hatua (3, -4) kwa mfano wetu wa usawa hapo juu. Ili kufanya hivyo, tutabadilisha 3 kwa x na -4 kwa y, kutatua kama ifuatavyo:

  (dy / dx) = (-2y² - 2x + 5) / (2 (2xy + y + 4)

  (dy / dx) = (-2 (-4)² - 2(3) + 5)/(2(2(3)(-4) + (-4) + 4)

  (dy / dx) = (-2 (16) - 6 + 5) / (2 (2 (3) (- 4))

  (dy / dx) = (-32) - 6 + 5) / (2 (2 (-12))

  (dy / dx) = (-33) / (2 (2 (-12))

  (dy / dx) = (-33) / (- 48) = 3/48, au 0, 6875.

Hatua ya 2. Tumia sheria ya mnyororo kwa kazi-ndani-kazi

Kanuni ya mnyororo ni kipande muhimu cha maarifa cha kuwa na wakati wa kufanya kazi kwa shida za hesabu (pamoja na shida za kazi inayotokana na kazi). Sheria ya mnyororo inasema kwamba kwa kazi F (x) ambayo inaweza kuandikwa kama (f o g) (x), derivative ya F (x) ni sawa na f '(g (x)) g' (x). Kwa shida ngumu inayotokana na kazi, hii inamaanisha kuwa inawezekana kupata sehemu tofauti za equation, na kisha unganisha matokeo.

• Kama mfano rahisi, tuseme tunapaswa kupata asili ya dhambi (3x² + x) kama sehemu ya shida kubwa inayopatikana ya kazi inayotokana na dhambi ya equation (3x² + x) + y³ = 0. Ikiwa tunafikiria dhambi (3x² + x) kama f (x) na 3x² + x kama g (x), tunaweza kupata kipato kama ifuatavyo:

  f '(g (x)) g' (x)

  (dhambi (3x² + x)] '× (3x² + x) '

  cos (3x² + x) × (6x + 1)

  (6x + 1) cos (3x² + x)

Hatua ya 3. Kwa equations na anuwai x, y, na z, pata (dz / dx) na (dz / dy)

Ingawa sio kawaida katika hesabu ya kimsingi, programu zingine za hali ya juu zinaweza kuhitaji kutolewa kwa kazi kamili za vigeuzi zaidi ya viwili. Kwa kila kutofautisha kwa ziada, lazima upate kipato cha ziada kwa heshima ya x. Kwa mfano, ikiwa una x, y, na z, unapaswa kutafuta zote (dz / dy) na (dz / dx). Tunaweza kufanya hivyo kwa kupata equation kwa heshima ya x mara mbili - kwanza, tutaingia (dz / dx) kila wakati tunapata neno lenye z, na pili, tutaingiza (dz / dy) kila wakati tunapata z. Baada ya haya, ni suala tu la utatuzi (dz / dx) na (dz / dy).

• Kwa mfano, wacha tuseme tunajaribu kupata x³z² - 5xy⁵z = x² + y³.

• Kwanza, wacha tuchukue dhidi ya x na tuingie (dz / dx). Usisahau kutumia sheria ya bidhaa ikiwa inahitajika!

  x³z² - 5xy⁵z = x² + y³

  3x²z² + 2x³z (dz / dx) - 5y⁵z - 5xy⁵(dz / dx) = 2x

  3x²z² + (2x³z - 5xy⁵(dz / dx) - 5y⁵z = 2x

  (2x³z - 5xy⁵(dz / dx) = 2x - 3x²z² + 5y⁵z

  (dz / dx) = (2x - 3x²z² + 5y⁵z) / (2x³z - 5xy⁵)

• Sasa fanya vivyo hivyo kwa (dz / dy)

  x³z² - 5xy⁵z = x² + y³

  2x³z (dz / dy) - 25xy⁴z - 5xy⁵(dz / dy) = 3y²

  (2x³z - 5xy⁵(dz / dy) = 3y² + 25xy⁴z

  (dz / dy) = (3y² + 25xy⁴z) / (2x³z - 5xy⁵)