Njia 6 za Kuzidisha Polynomials ya Shahada ya Pili (Viwango vya Mraba)

2024 Mwandishi: Jason Gerald | [email protected]. Mwisho uliobadilishwa: 2024-01-19 22:14

Polynomial ina variable (x) na nguvu, inayojulikana kama digrii, na maneno kadhaa na / au vipindi. Kusababisha polynomial inamaanisha kuvunja equation kuwa hesabu rahisi ambazo zinaweza kuzidishwa. Ustadi huu uko katika Algebra 1 na zaidi, na inaweza kuwa ngumu kuelewa ikiwa ujuzi wako wa hesabu hauko katika kiwango hiki.

Hatua

Anza

Hatua ya 1. Weka usawa wako

Fomati ya kawaida ya equation ya quadratic ni:

shoka² + bx + c = 0

Anza kwa kuagiza masharti katika equation yako kutoka kwa nguvu ya juu hadi ya chini, kama vile katika muundo huu wa kawaida. Kwa mfano:

6 + 6x² + 13x = 0

Tutaweka upya usawa huu ili iwe rahisi kufanya kazi nao kwa kusonga tu maneno:

6x² + 13x + 6 = 0

Hatua ya 2. Tafuta sababu ya fomu ukitumia moja wapo ya njia zifuatazo

Ukweli wa matokeo ya polynomial katika hesabu mbili rahisi ambazo zinaweza kuzidishwa ili kutoa polynomial ya asili:

6x² + 13x + 6 = (2x + 3) (3x + 2)

Katika mfano huu, (2x + 3) na (3x + 2) ndio sababu za equation asili, 6x² + 13x + 6.

Hatua ya 3. Angalia kazi yako

Zidisha sababu unazo. Kisha, unganisha maneno kama haya na umemaliza. Anza na:

(2x + 3) (3x + 2)

Wacha tujaribu, tuzidishe maneno kwa kutumia PLDT (kwanza - nje - ndani - mwisho), na kusababisha:

6x² + 4x + 9x + 6

Kutoka hapa, tunaweza kuongeza 4x na 9x kwa sababu ni kama maneno. Tunajua kuwa sababu zetu ni sahihi kwa sababu tunapata mlinganyo wetu wa asili:

6x² + 13x + 6

Njia 1 ya 6: Jaribio na Kosa

Ikiwa una polynomial rahisi, unaweza kupata sababu mwenyewe kwa kuziangalia. Kwa mfano, baada ya mazoezi, wanahisabati wengi wanaweza kugundua kuwa equation 4x² + 4x + 1 ina sababu ya (2x + 1) na (2x + 1) kwa kuiangalia mara nyingi. (Hii bila shaka haitakuwa rahisi kwa polynomials ngumu zaidi). Kwa mfano huu, wacha tutumie mlinganyo ambao hautumiwi sana:

3x² + 2x - 8

Hatua ya 1. Andika orodha ya mambo ya muhula a na mrefu c

Kutumia fomati ya mlingano wa shoka² + bx + c = 0, tambua masharti a na c na uandike sababu ambazo maneno yote mawili yana. Kwa 3x² + 2x - 8, ikimaanisha:

a = 3 na ina seti ya sababu: 1 * 3

c = -8 na ina seti nne za sababu: -2 * 4, -4 * 2, -8 * 1, na -1 * 8.

Hatua ya 2. Andika seti mbili za mabano na nafasi tupu

Utajaza nafasi zilizoachwa wazi na kila wakati kwa kila equation:

(x) (x)

Hatua ya 3. Jaza nafasi zilizo wazi mbele ya x na sababu zinazowezekana za thamani ya a

Kwa neno a katika mfano wetu, 3x², kuna uwezekano mmoja tu kwa mfano wetu:

(3x) (1x)

Hatua ya 4. Jaza nafasi zilizoachwa wazi baada ya x na jozi za sababu za mara kwa mara

Tuseme tunachagua 8 na 1. Andika ndani yao:

(3x

Hatua ya 8.)(

Hatua ya 1

Hatua ya 5. Tambua ishara (pamoja na minus) kati ya ubadilishaji x na nambari

Kulingana na ishara kwenye equation ya asili, inawezekana kutafuta ishara za mara kwa mara. Tuseme tunaita mara mbili h na k kwa sababu zetu mbili:

Ikiwa shoka² + bx + c kisha (x + h) (x + k)

Ikiwa shoka² - bx - c au shoka² + bx - c kisha (x - h) (x + k)

Ikiwa shoka² - bx + c kisha (x - h) (x - k)

Kwa mfano wetu, 3x² + 2x - 8, ishara ni: (x - h) (x + k), ikitupa sababu mbili:

(3x + 8) na (x - 1)

Hatua ya 6. Jaribu uchaguzi wako kwa kutumia kuzidisha kwanza-mwisho-mwisho (PLDT)

Jaribio la kwanza la haraka ni kuona ikiwa muda wa kati una angalau thamani sahihi. Ikiwa sivyo, unaweza kuwa umechagua sababu mbaya za c. Wacha tujaribu jibu letu:

(3x + 8) (x - 1)

Kwa kuzidisha, tunapata:

3x² - 3x + 8x - 8

Kurahisisha usawa huu kwa kuongeza maneno kama haya (-3x) na (8x), tunapata:

3x² - 3x + 8x - 8 = 3x² + 5x - 8

Sasa tunajua kwamba lazima tumetumia sababu mbaya:

3x² + 5x - 8 3x² + 2x - 8

Hatua ya 7. Badilisha chaguo lako ikihitajika

Katika mfano wetu, wacha tujaribu 2 na 4 badala ya 1 na 8:

(3x + 2) (x - 4)

Sasa c yetu ni -8, lakini bidhaa yetu ya nje / ya ndani (3x * -4) na (2 * x) ni -12x na 2x, ambayo pamoja haitaleta neno sahihi b + 2x.

-12x + 2x = 10x

10x 2x

Hatua ya 8. Badilisha amri ikiwa ni lazima

Wacha tujaribu kubadilisha 2 na 4:

(3x + 4) (x - 2)

Sasa, muda wetu c (4 * 2 = 8) ni sahihi, lakini bidhaa ya nje / ya ndani ni -6x na 4x. Ikiwa tutaunganisha:

-6x + 4x = 2x

2x -2x Tunakaribia 2x tunayotafuta, lakini ishara hiyo sio sawa.

Hatua ya 9. Kagua lebo zako mara mbili ikiwa inahitajika

Tutatumia agizo sawa, lakini badilisha hesabu zilizo na ishara ya kuondoa:

(3x - 4) (x + 2)

Sasa neno c halina shida, na bidhaa ya sasa ya nje / ya ndani ni (6x) na (-4x). Kwa sababu:

6x - 4x = 2x

2x = 2x Sasa tunaweza kutumia chanya 2x kutoka kwa shida ya asili. Hizi lazima ziwe sababu sahihi.

Njia 2 ya 6: Utengano

Njia hii itaainisha sababu zote zinazowezekana za a na c na kuzitumia kupata sababu sahihi. Ikiwa nambari ni kubwa sana au kubashiri inaonekana kunachukua muda, tumia njia hii. Wacha tutumie mfano:

6x² + 13x + 6

Hatua ya 1. Zidisha muda kwa muda c

Katika mfano huu, a ni 6 na c pia ni 6.

6 * 6 = 36

Hatua ya 2. Pata neno b kwa kuandika na kupima

Tunatafuta nambari mbili ambazo ni sababu za bidhaa a * c ambazo tumegundua na pia zinaongeza hadi neno b (13).

4 * 9 = 36

4 + 9 = 13

Hatua ya 3. Badilisha namba mbili unazopata kwenye equation yako kama matokeo ya kuongeza neno b

Wacha tutumie k na h kuwakilisha nambari mbili tunazo, 4 na 9:

shoka² + kx + hx + c

6x² + 4x + 9x + 6

Hatua ya 4. Jumuisha polynomial kwa kupanga

Panga equations ili uweze kuchukua sababu kubwa zaidi ya maneno ya kwanza na ya pili. Kikundi cha sababu lazima kiwe sawa. Ongeza Sababu ya Kawaida Kubwa na kuiweka kwenye mabano karibu na kikundi cha sababu; matokeo ni sababu zako mbili:

6x² + 4x + 9x + 6

2x (3x + 2) + 3 (3x + 2)

(2x + 3) (3x + 2)

Njia ya 3 kati ya 6: Mchezo wa kucheza mara tatu

Sawa na njia ya mtengano, njia ya kucheza mara tatu inachunguza sababu zinazowezekana za kuzidisha maneno a na c na kutumia thamani ya b. Jaribu kutumia mfano huu:

8x² + 10x + 2

Hatua ya 1. Zidisha muda kwa muda c

Kama njia ya kuchanganua, hii itatusaidia kutambua wagombea wa kipindi b. Katika mfano huu, a ni 8 na c ni 2.

8 * 2 = 16

Hatua ya 2. Tafuta nambari mbili ambazo, zikizidishwa na nambari, hutengeneza nambari hii na jumla ya jumla sawa na neno b

Hatua hii ni sawa na kuchambua - tunajaribu na kuwatupa wagombea wa mara kwa mara. Bidhaa ya masharti a na c ni 16, na neno c ni 10:

2 * 8 = 16

8 + 2 = 10

Hatua ya 3. Chukua nambari hizi mbili na uwajaribu kwa kuziingiza kwenye fomula ya kucheza mara tatu

Chukua nambari zetu mbili kutoka kwa hatua ya awali - wacha tuwapigie h na k - na kuziba kwenye equation:

((shoka + h) (shoka + k)) / a

Tutapata:

((8x + 8) (8x + 2)) / 8

Hatua ya 4. Angalia ikiwa mojawapo ya maneno mawili katika hesabu yanagawanyika na a

Katika mfano huu, tuliona ikiwa (8x + 8) au (8x + 2) hugawanyika na 8. (8x + 8) hugawanyika na 8, kwa hivyo tutagawanya neno hili kwa a na kuacha mambo mengine peke yake.

(8x + 8) = 8 (x + 1)

Neno katika mabano hapa ndilo lililobaki baada ya kugawanya na neno a.

Hatua ya 5. Chukua sababu kubwa ya kawaida (GCF) ya moja au masharti yote, ikiwa ipo

Katika mfano huu, kipindi cha pili, ina GCF ya 2, kwa sababu 8x + 2 = 2 (4x + 1). Unganisha matokeo haya na neno ulilopata kutoka hatua ya awali. Hizi ndizo sababu katika equation yako.

2 (x + 1) (4x + 1)

Njia ya 4 ya 6: Tofauti ya Mizizi ya Mraba

Baadhi ya coefficients katika polynomials inaweza kuwa 'mraba', au bidhaa ya nambari mbili. Kutambua mraba huu hukuruhusu kuunda polynomials nyingi haraka zaidi. Jaribu usawa huu:

27x² - 12 = 0

Hatua ya 1. Chukua sababu kubwa ya kawaida ikiwezekana

Katika kesi hii, tunaweza kuona kuwa 27 na 12 zinagawanyika na 3, kwa hivyo tunapata:

27x² - 12 = 3 (9x² - 4)

Hatua ya 2. Tambua ikiwa coefficients ya equation yako ni nambari za mraba

Kutumia njia hii, lazima uweze kuchukua mzizi wa mraba wa maneno yote mawili. (Kumbuka kuwa tutapuuza ishara hasi - kwa sababu nambari hizi ni mraba zinaweza kuwa bidhaa ya nambari mbili chanya au hasi)

9x² = 3x * 3x na 4 = 2 * 2

Hatua ya 3. Kutumia mizizi ya mraba unayo, andika sababu

Tutachukua maadili ya a na c kutoka kwa hatua yetu hapo juu - a = 9 na c = 4, kisha tafuta mizizi ya mraba - a = 3 na c = 2. Matokeo yake ni mgawo wa usawa wa sababu:

27x² - 12 = 3 (9x² - 4) = 3 (3x + 2) (3x - 2)

Njia ya 5 ya 6: Mfumo wa Quadratic

Ikiwa kila kitu kimeshindwa na equation haiwezi kusambazwa nzima, tumia fomati ya quadratic. Jaribu mfano huu:

x² + 4x + 1 = 0

Hatua ya 1. Ingiza maadili yanayotakiwa katika fomati ya quadratic:

x = -b ± (b² - 4ac)

2a

Tunapata mlingano:

x = -4 ± (4² - 4•1•1) / 2

Hatua ya 2. Pata thamani ya x

Utapata maadili mawili. Kama ilivyoonyeshwa hapo juu, tunapata majibu mawili:

x = -2 + (3) au x = -2 - (3)

Hatua ya 3. Tumia x-value yako kupata sababu

Chomeka maadili ya x uliyo nayo katika hesabu mbili za polynomial kama vizuizi. Matokeo yake ni sababu zako. Ikiwa tutaita majibu yetu h na k, tunaandika sababu mbili kama ifuatavyo:

(x - h) (x - k)

Katika mfano huu, jibu letu la mwisho ni:

(x - (-2 + (3)) (x - (-2 - (3)) = (x + 2 - (3)) (x + 2 + (3))

Njia ya 6 kati ya 6: Kutumia Kikokotoo

Ikiwa unaruhusiwa kutumia kikokotoo, kikokotoo cha graphing hufanya mchakato wa kuandikisha uwe rahisi zaidi, haswa kwa vipimo vilivyowekwa sanifu. Maagizo haya ni ya kikokotoo cha picha ya TI. Tutatumia mfano equation:

y = x² x 2

Hatua ya 1. Ingiza equation yako kwenye kikokotoo

Utatumia uorodheshaji wa equation, ambayo imeandikwa [Y =] kwenye skrini.

Hatua ya 2. Grafu equation yako kwa kutumia kikokotoo chako

Unapoingia kwenye equation yako, bonyeza [GRAPH] - utaona curve laini ambayo inawakilisha equation yako (na sura ni curve kwa sababu tunatumia polynomials).

Hatua ya 3. Pata mahali ambapo curve inapita na x-axis

Kwa kuwa hesabu za polynomial kawaida huandikwa kama shoka² + bx + c = 0, makutano haya ni thamani ya pili ya x ambayo inasababisha equation kuwa sifuri:

(-1, 0), (2, 0)

x = -1, x = 2

Ikiwa huwezi kutambua ni wapi grafu inaingiliana na mhimili wa x kwa kuiangalia, bonyeza [2] halafu [TRACE]. Bonyeza [2] au chagua sifuri. Sogeza kielekezi kushoto mwa makutano na ubonyeze [ENTER]. Sogeza kielekezi kulia kwa makutano na ubonyeze [ENTER]. Sogeza kielekezi karibu na makutano iwezekanavyo na bonyeza [ENTER]. Kikokotoo kitapata thamani ya x. Fanya hivi kwa makutano mengine pia

Hatua ya 4. Chomeka x thamani iliyopatikana kutoka kwa hatua ya awali kwenye mlinganisho mbili wa ukweli

Ikiwa tunataja maadili yetu yote x na h, hesabu ambazo tutatumia zitakuwa:

(x - h) (x - k) = 0

Kwa hivyo, sababu zetu mbili ni:

(x - (-1)) (x - 2) = (x + 1) (x - 2)

Vidokezo

• Ikiwa una kikokotoo cha TI-84 (grafu), kuna programu inayoitwa SOLVER ambayo itasuluhisha hesabu zako za quadratic. Mpango huu utasuluhisha polynomials ya kiwango chochote.
• Ikiwa neno halijaandikwa, mgawo ni 0. Inasaidia kuandika tena equation ikiwa ndivyo ilivyo, kwa mfano: x² + 6 = x² + 0x + 6.
• Ikiwa umejumlisha polynomial yako kwa kutumia fomula ya quadratic na kupata jibu kwa suala la mizizi, unaweza kutaka kubadilisha thamani ya x kuwa sehemu ya kuangalia.
• Ikiwa neno halina mgawo ulioandikwa, mgawo ni 1, kwa mfano: x² = 1x².
• Baada ya mazoezi ya kutosha, mwishowe utaweza kusababisha polynomials kwenye kichwa chako. Mpaka uweze kuifanya, hakikisha kuandika kila wakati jinsi ya kufanya.