Unapopata kwanza equation ya ujazo (ambayo ni ya shoka la fomu 3 + bx 2 + cx + d = 0), labda unafikiria kuwa shida itakuwa ngumu kusuluhisha. Lakini ujue kuwa kutatua equations za ujazo kweli imekuwa karibu kwa karne nyingi! Suluhisho hili, lililogunduliwa na wataalamu wa hesabu wa Italia Niccolò Tartaglia na Gerolamo Cardano miaka ya 1500, ni moja wapo ya kanuni za kwanza zinazojulikana katika Ugiriki na Roma ya zamani. Kusuluhisha hesabu za ujazo inaweza kuwa ngumu kidogo, lakini kwa njia sahihi (na maarifa ya kutosha), hata hesabu ngumu zaidi za ujazo zinaweza kutatuliwa.
Hatua
Njia 1 ya 3: Kutatua Kutumia Mlinganisho wa Quadratic
Hatua ya 1. Angalia ikiwa equation yako ya ujazo ina mara kwa mara
Kama ilivyoelezwa hapo juu, fomu ya equation ya ujazo ni shoka 3 + bx 2 + cx + d = 0. b, c, na thamani ya d inaweza kuwa 0 bila kuathiri fomu ya equation hii ya ujazo; hii kimsingi inamaanisha kuwa equation ya ujazo sio lazima iwe pamoja na thamani ya bx 2, cx, au d kuwa equation ya ujazo. Kuanza kutumia njia hii rahisi ya kusuluhisha hesabu za ujazo, angalia ikiwa equation yako ya ujazo ina mara kwa mara (au thamani ya d). Ikiwa equation yako haina mara kwa mara au thamani ya d, basi unaweza kutumia equation ya quadratic kupata jibu la equation ya ujazo baada ya hatua chache.
Kwa upande mwingine, ikiwa equation yako ina thamani ya kila wakati, basi utahitaji suluhisho lingine. Tazama hatua zifuatazo kwa njia zingine
Hatua ya 2. Jenga thamani ya x kutoka kwa equation ya ujazo
Kwa kuwa equation yako haina thamani ya kila wakati, vifaa vyote ndani yake vina x inayobadilika. Hii inamaanisha kuwa thamani hii ya x inaweza kutolewa nje ya equation ili kuirahisisha. Fanya hatua hii na andika tena equation yako ya ujazo katika fomu x (ax 2 + bx + c).
Kwa mfano, wacha tuseme kwamba usawa wa ujazo wa asili hapa ni 3 x 3 + -2 x 2 + 14 x = 0 x (3 x 2 + -2 x + 14) = 0.
Hatua ya 3. Tumia hesabu za quadratic kutatua hesabu kwenye mabano
Unaweza kugundua kuwa zingine za hesabu zako mpya, ambazo zimefungwa kwenye mabano, ziko katika mfumo wa equation ya quadratic (ax 2 + bx + c). Hii inamaanisha kuwa tunaweza kupata thamani inayohitajika ili kufanya equation hii iwe sawa na sifuri kwa kuziba a, b, na c katika fomati ya equation ya quadratic ({- b +/- √ (b 2- 4 ac)} / 2 a). Fanya mahesabu haya ili kupata majibu mawili ya ujazo wako wa ujazo.
-
Katika mfano wetu, ingiza maadili ya a, b, na c (3, -2, na 14, mtawaliwa) kwenye hesabu ya quadratic kama ifuatavyo:
-
-
{- b +/- √ (b 2- 4 ac)} / 2 a
- {-(-2) +/-√ ((-2)2- 4(3)(14))}/2(3)
- {2 +/-√ (4 - (12)(14))}/6
- {2 +/-√ (4 - (168)}/6
- {2 +/-√ (-164)}/6
-
-
-
Jibu 1:
-
- {2 + √(-164)}/6
- {2 + 12.8 i} / 6
-
-
Jibu 2:
-
- {2 - 12.8 i} / 6
-
Hatua ya 4. Tumia sifuri na jibu lako kwa hesabu yako ya quadratic kama jibu lako kwa equation yako ya ujazo
Mlinganyo wa Quadratic utakuwa na majibu mawili, wakati hesabu za ujazo zina majibu matatu. Tayari unajua majibu mawili kati ya matatu; ambayo unapata kutoka sehemu "mraba" ya equation kwenye mabano. Ikiwa equation yako ya ujazo inaweza kutatuliwa na "factorization" kama hii, jibu lako la tatu karibu kila wakati 0. Salama! Umetatua tu hesabu ya ujazo.
Sababu inayofanya njia hii ifanye kazi ni ukweli wa kimsingi kwamba "nambari yoyote iliyozidishwa na sifuri ni sawa na sifuri". Unapoingiza equation yako katika fomu x (ax 2 + bx + c) = 0, wewe kimsingi hugawanye tu katika "sehemu" mbili; sehemu moja ni x inayobadilika upande wa kushoto na sehemu nyingine ni mlinganyo wa quadratic kwenye mabano. Ikiwa moja ya sehemu hizi mbili ni sifuri, basi equation yote pia itakuwa sifuri. Kwa hivyo, majibu mawili ya hesabu ya quadratic katika mabano, ambayo ingeifanya kuwa sifuri, ni majibu ya equation ya ujazo, na vile vile 0 yenyewe - ambayo ingefanya sehemu upande wa kushoto pia kuwa sifuri.
Njia 2 ya 3: Kupata Majibu kamili kwa kutumia Orodha ya Sababu
Hatua ya 1. Hakikisha kwamba equation yako ya ujazo ina thamani ya kila wakati
Wakati njia zilizoelezewa hapo juu ni rahisi kutumia kwa sababu hauitaji kujifunza mbinu mpya ya hesabu kuzitumia, hazitakusaidia kila mara kutatua milinganyo ya ujazo. Ikiwa equation yako ya ujazo ni ya shoka la fomu 3 + bx 2 + cx + d = 0, ambapo thamani ya d si sawa na sifuri, njia ya "factorization" hapo juu haifanyi kazi, kwa hivyo utahitaji kutumia moja ya njia katika sehemu hii kutatua hili.
Kwa mfano, wacha tuseme tuna equation 2 x 3 + 9 x 2 + 13 x = -6. Katika kesi hii, kupata sifuri upande wa kulia wa equation, lazima tuongeze 6 kwa pande zote mbili. Baada ya hapo, tutapata equation mpya 2 x 3 + 9 x 2 + 13 x + 6 = 0, na thamani ya d = 6, kwa hivyo hatuwezi kutumia njia ya "factorization" kama ilivyo katika njia iliyopita.
Hatua ya 2. Tafuta sababu za a na d
Ili kutatua equation yako ya ujazo, anza kwa kutafuta sababu ya (mgawo wa x 3) na d (thamani ya mara kwa mara mwishoni mwa equation). Kumbuka, sababu ni nambari ambazo zinaweza kuzidishwa na kila mmoja kutoa nambari fulani. Kwa mfano, kwa kuwa unaweza kupata 6 kwa kuzidisha 6 × 1 na 2 × 3, 1, 2, 3, na 6 ni sababu za 6.
-
Katika shida ya mfano tunayotumia, a = 2 na d = 6. Sababu ya 2 ni 1 na 2. Wakati sababu ya 6 ni 1, 2, 3, na 6.
Suluhisha hatua ya ujazo ya ujazo Hatua ya 3. Gawanya sababu a kwa sababu ya d
Ifuatayo,orodhesha maadili unayopata kwa kugawanya kila sababu ya a kwa kila sababu ya d. Hesabu hii kawaida husababisha maadili mengi ya sehemu na nambari kadhaa. Thamani kamili ya kutatua equation yako ya ujazo ni moja wapo ya nambari zilizopatikana kutoka kwa hesabu.
Katika equation yetu, gawanya thamani ya sababu ya (1, 2) kwa sababu ya d (1, 2, 3, 6) na upate matokeo yafuatayo: 1, 1/2, 1/3, 1/6, 2, na 2/3. Ifuatayo, ongeza maadili hasi kwenye orodha, na tunapata: 1, -1, 1/2, -1/2, 1/3, -1/3, 1/6, -1/6, 2, -2, 2/3, na -2/3. Jibu la equation ya ujazo - ambayo ni nambari kamili, iko kwenye orodha.
Suluhisha hatua ya ujazo ya ujazo Hatua ya 4. Tumia mgawanyiko wa syntetiki kukagua majibu yako
Mara tu unapokuwa na orodha ya maadili kama ile hapo juu, unaweza kutafuta nambari kamili ambazo ni majibu ya mlinganyo wako wa ujazo kwa kuingiza kila nambari kwa mikono, na upate nambari gani inarudisha sifuri. Walakini, ikiwa hautaki kutumia wakati kufanya hii, kuna njia ya kuifanya haraka zaidi, ambayo ni kwa hesabu inayoitwa mgawanyiko wa sintetiki. Kimsingi, utagawanya nambari yako kamili na mgawo wa asili wa a, b, c, na d katika equation yako ya ujazo. Ikiwa salio ni sifuri, basi thamani hiyo ni moja wapo ya majibu ya ujazo wako wa ujazo.
-
Mgawanyiko wa syntetisk ni mada ngumu - tazama kiunga hapa chini kwa habari zaidi. Hapa kuna mfano wa jinsi ya kupata moja ya majibu ya ujazo wako wa ujazo na mgawanyiko wa sintetiki:
-
- -1 | 2 9 13 6
- _| -2-7-6
- _| 2 7 6 0
- Kwa kuwa tunapata matokeo ya mwisho sawa na 0, tunajua kwamba mojawapo ya majibu kamili ya ujazo wetu wa ujazo ni - 1.
-
Njia ya 3 ya 3: Kutumia Njia ya Ubaguzi
Tatua hatua ya ujazo ya ujazo 9 Hatua ya 1. Andika hesabu a, b, c, na d
Ili kupata jibu la equation ya ujazo kwa njia hii, tutafanya mahesabu mengi na coefficients katika equation yetu. Kwa sababu ya hii, ni wazo nzuri kuzingatia maadili ya a, b, c, na d kabla ya kusahau maadili yoyote.
Kwa mfano, kwa equation x 3 - 3 x 2 + 3 x - 1, andika kama = 1, b = -3, c = 3, na d = -1. Usisahau kwamba wakati variable x haina mgawo, thamani yake ni 1.
Suluhisha hatua ya ujazo ya ujazo Hatua ya 2. Hesabu 0 = b 2 - viyoyozi 3.
Njia ya kibaguzi ya kupata majibu kwa hesabu za ujazo inahitaji mahesabu magumu, lakini ukifuata hatua kwa uangalifu, inaweza kuwa muhimu sana kwa kutatua hesabu za ujazo ambazo ni ngumu kutatua kwa njia zingine. Kwanza, pata thamani ya 0, ambayo ndiyo thamani ya kwanza muhimu ya kadhaa tunayohitaji, kuziba dhamana inayofaa katika fomula b 2 - viyoyozi 3.
-
Katika mfano tunayotumia, tutasuluhisha kama ifuatavyo:
-
- b 2 - 3 ac
- (-3)2 - 3(1)(3)
- 9 - 3(1)(3)
- 9 - 9 = 0 = 0
-
Suluhisha hatua ya ujazo ya ujazo Hatua ya 3. Hesabu 1 = 2 b 3 - 9 abc + 27 a 2 d.
Thamani muhimu inayofuata tunayohitaji, 1, inahitaji hesabu ndefu, lakini inaweza kupatikana kwa njia sawa na 0. Chomeka thamani inayofaa katika fomula 2 b 3 - 9 abc + 27 a 2 d kupata thamani ya 1.
-
Katika mfano huu, tunaisuluhisha kama ifuatavyo:
-
- 2(-3)3 - 9(1)(-3)(3) + 27(1)2(-1)
- 2(-27) - 9(-9) + 27(-1)
- -54 + 81 - 27
- 81 - 81 = 0 = 1
-
Suluhisha hatua ya ujazo ya ujazo 12 Hatua ya 4. Hesabu = 12 - 4Δ03-27 a 2.
Ifuatayo, tunahesabu thamani "ya kibaguzi" ya nambari 0 na 1. Ubaguzi ni nambari inayokupa habari juu ya mzizi wa polynomial (unaweza kuwa umekariri fomula ya kibaguzi ya quadratic bila kujua) 2 - viyoyozi 4). Katika kesi ya equation ya ujazo, ikiwa thamani ya kibaguzi ni chanya, basi equation ina majibu matatu ya nambari halisi. Ikiwa thamani ya kibaguzi ni sawa na sifuri, basi equation ina moja au mbili majibu halisi ya nambari, na majibu mengine yana thamani sawa. Ikiwa thamani ni hasi, basi equation ina jibu moja tu la nambari halisi, kwa sababu grafu ya equation daima itapita mhimili wa x angalau mara moja.)
-
Katika mfano huu, kwa kuwa zote 0 na 1 = 0, kupata dhamana ni rahisi sana. Tunahitaji tu kuhesabu kwa njia ifuatayo:
-
- 12 - 4Δ03-27 a 2
- (0)2 - 4(0)3) ÷ -27(1)2
- 0 - 0 ÷ 27
- 0 =, kwa hivyo equation yetu ina majibu 1 au 2.
-
Suluhisha hatua ya ujazo ya ujazo Hatua ya 5. Hesabu C = 3(√ ((Δ12 - 4Δ03(1) / 2).
Thamani ya mwisho ambayo ni muhimu kwetu kupata ni thamani ya C. Thamani hii inatuwezesha kupata mizizi yote mitatu ya ujazo wetu wa ujazo. Tatua kama kawaida, unganisha maadili ya 1 na 0 kwenye fomula.
-
Katika mfano huu, tutapata thamani ya C kwa:
-
- 3(√ ((Δ12 - 4Δ03(1) / 2)
- 3√(√((02 - 4(0)3) + (0))/ 2)
- 3√(√((0 - 0) + (0))/ 2)
- 0 = C
-
Suluhisha hatua ya ujazo ya ujazo Hatua ya 6. Hesabu mizizi mitatu ya equation na anuwai yako
Mzizi (jibu) la ujazo wako wa ujazo umedhamiriwa na fomula (b + u C + (Δ0 / u C)) / 3 a, ambapo u = (-1 + (-3)) / 2 na n ni sawa na 1, 2, au 3. Chomeka maadili yako katika fomula ya kuyatatua - kunaweza kuwa na mahesabu machache unayohitaji kufanya, lakini unapaswa kupata majibu yako yote matatu ya ujazo wa ujazo!
-
Katika mfano huu, tunaweza kuisuluhisha kwa kuangalia majibu wakati n sawa na 1, 2, na 3. Jibu tunalopata kutoka kwa hesabu hii ni jibu linalowezekana kwa equation yetu ya ujazo - thamani yoyote tunayoingiza kwenye equation ya ujazo na inatoa na matokeo sawa, na 0, ni jibu sahihi. Kwa mfano, ikiwa tutapata jibu sawa na 1 ikiwa katika moja ya majaribio yetu ya hesabu, kuziba thamani 1 katika equation x 3 - 3 x 2 + 3 x - 1 hutoa matokeo ya mwisho sawa na 0. Kwa hivyo
Hatua ya 1. ni moja wapo ya majibu ya ujazo wetu wa ujazo.
-
